Regra do Quociente para encontrar Derivadas c/ Exemplos Passo a Passo

A Regra do Quociente nos ajuda a encontrar a derivada de uma função que é o quociente de duas outras funções. É usada quando uma função é dividida por outra. Isso nos permite diferenciar essas funções complexas considerando as derivadas individuais das duas funções.

Fórmula da Regra do Quociente e Definição Formal

A fórmula da Regra do Quociente é a seguinte:

\frac{d}{d x} (\frac{f (x)}{g (x)}) = \frac{g (x) \cdot f^{'} (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}

Para duas funções diferenciáveis $f (x)$ e $g (x)$ , onde $g (x) \neq 0$ , a derivada de seu quociente é dada por:

\frac{d}{d x} (\frac{f (x)}{g (x)}) = \frac{g (x) \cdot f^{'} (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}

onde $f^{'} (x)$ é a derivada de $f (x)$ e $g^{'} (x)$ é a derivada de $g (x)$ .

Passos para Aplicar a Regra do Quociente

Identifique a função numeradora, $f (x)$ , e a função denominadora, $g (x)$ .
Encontre a derivada da função numeradora, $f^{'} (x)$ .
Encontre a derivada da função denominadora, $g^{'} (x)$ .
Aplique a fórmula da Regra do Quociente:
$\frac{d}{d x} (\frac{f (x)}{g (x)}) = \frac{g (x) \cdot f^{'} (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}$
Simplifique a expressão resultante, se necessário.

Lembrando da Regra do Quociente

Para lembrar facilmente da Regra do Quociente, você pode usar o mnemônico “Hi-Dee-Ho”:

“Hi” representa a função numeradora, $f (x)$ , porque está “alta”.
“Ho” representa a função denominadora, $g (x)$ , porque está “baixa”.
“Dee” representa a derivada da função.

A Regra do Quociente pode ser lembrada como:

\frac{Hi}{Ho} = \frac{Ho-Dee-Hi - Hi-Dee-Ho}{Ho-Ho}

o que se traduz em:

\frac{g (x) \cdot f^{'} (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}

Exemplos

Exemplo 1: Derivada de uma Fração

Vamos usar a Regra do Quociente para diferenciar a função $\frac{x^{2} + 1}{x - 1}$ .

Identifique $f (x) = x^{2} + 1$ e $g (x) = x - 1$ .
Encontre $f^{'} (x) = 2 x$ e $g^{'} (x) = 1$ .
Aplique a Regra do Quociente:
$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 2 x - (x^{2} + 1) \cdot 1}{(x - 1)^{2}}$
Simplifique:
$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 1}{x - 1}) = \frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2} - 1}{(x - 1)^{2}} = \frac{x^{2} - 2 x - 1}{(x - 1)^{2}}$

Exemplo 2: Erro Comum

É importante notar que a derivada de um quociente não é (!) igual ao quociente das derivadas. Por exemplo:

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x}) \neq \frac{\frac{d}{d x} (x^{2})}{\frac{d}{d x} (x)} = \frac{2 x}{1} = 2 x

Em vez disso, usando a Regra do Quociente:

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x}) = \frac{x \cdot 2 x - x^{2} \cdot 1}{x^{2}} = \frac{2 x^{2} - x^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}} = 1

Exemplo 3: Taxa Instantânea de Mudança

Encontre a taxa instantânea de mudança de $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x + 1}$ em $x = 1$ .

Encontre $f^{'} (x)$ usando a Regra do Quociente:
$f^{'} (x) = \frac{(x + 1) \cdot 2 x - (x^{2} + 1) \cdot 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} - 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{x^{2} + 2 x - 1}{(x + 1)^{2}}$
Avalie $f^{'} (1)$ :
$f^{'} (1) = \frac{1^{2} + 2 (1) - 1}{(1 + 1)^{2}} = \frac{1 + 2 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Assim, a taxa instantânea de mudança de $f (x)$ em $x = 1$ é $\frac{1}{2}$ .

Relação com a Regra do Produto

A Regra do Quociente está intimamente relacionada com a Regra do Produto, que é usada para diferenciar o produto de duas funções. A principal diferença entre as duas regras é que a Regra do Quociente tem um sinal de menos no numerador, enquanto a Regra do Produto tem um sinal de mais.

Regra do Produto:

\frac{d}{d x} (f (x) \cdot g (x)) = f (x) \cdot g^{'} (x) + g (x) \cdot f^{'} (x)

Regra do Quociente:

\frac{d}{d x} (\frac{f (x)}{g (x)}) = \frac{g (x) \cdot f^{'} (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}

Embora essas funções pareçam semelhantes, é muito importante usar a regra correta dependendo se você está multiplicando ou dividindo as funções.