Regra do Produto para encontrar Derivadas c/ Exemplos Passo a Passo

Quando usamos o termo produto, estamos nos referindo a duas funções sendo multiplicadas juntas. A Regra do Produto é uma das regras de diferenciação no cálculo que nos permite encontrar a derivada do produto de duas ou mais funções diferenciáveis. Esta regra é muito útil quando queremos evitar ou não podemos fazer a multiplicação antes da diferenciação.

Em outras palavras, a Regra do Produto nos permite encontrar a derivada de duas funções diferenciáveis que estão sendo multiplicadas juntas combinando nosso conhecimento da Regra da Potência e da Regra da Soma e Diferença para derivadas.

Fórmula da Regra do Produto e Definição Formal

A fórmula da Regra do Produto para duas funções é a seguinte:

\frac{d}{d x} (f (x) g (x)) = f (x) \cdot \frac{d}{d x} g (x) + g (x) \cdot \frac{d}{d x} f (x)

Para duas funções diferenciáveis $f (x)$ e $g (x)$ , a derivada do produto delas com respeito a $x$ é dada por:

\frac{d}{d x} (f (x) g (x)) = f (x) \cdot \frac{d}{d x} g (x) + g (x) \cdot \frac{d}{d x} f (x)

onde $\frac{d}{d x} f (x)$ é a derivada de $f (x)$ e $\frac{d}{d x} g (x)$ é a derivada de $g (x)$ .

Em termos simples, a regra diz que a derivada de um produto de duas funções é igual à primeira função vezes a derivada da segunda função, mais a segunda função vezes a derivada da primeira função.

Passos para Aplicar a Regra do Produto

Identifique as duas funções sendo multiplicadas, $f (x)$ e $g (x)$ .
Encontre a derivada da primeira função, $\frac{d}{d x} f (x)$ .
Encontre a derivada da segunda função, $\frac{d}{d x} g (x)$ .
Multiplique a primeira função, $f (x)$ , pela derivada da segunda função, $\frac{d}{d x} g (x)$ .
Multiplique a segunda função, $g (x)$ , pela derivada da primeira função, $\frac{d}{d x} f (x)$ .
Some os resultados dos passos 4 e 5 para obter a derivada do produto.

Erros Comuns ao Usar a Regra do Produto

É essencial notar que a derivada de um produto não (!) é igual ao produto das derivadas. Em outras palavras:

\frac{d}{d x} (f (x) g (x)) \neq \frac{d}{d x} f (x) \cdot \frac{d}{d x} g (x)

Isso é algo que os estudantes muitas vezes confundem ao aprender sobre a regra do produto. Para garantir que você não cometa esse erro, sempre lembre-se de multiplicar cada função pela derivada da outra função e, em seguida, somar os dois resultados.

Exemplos

Exemplo 1: Função Binomial

Vamos encontrar a derivada da seguinte função usando a Regra do Produto:

h (x) = (3 x^{2} + 2) (4 x - 1)

Usando codificação por cores para facilitar o acompanhamento:

$f (x) = 3 x^{2} + 2$ (azul)
$g (x) = 4 x - 1$ (vermelho)

Aplicando a Regra do Produto:

\begin{matrix} \frac{d}{d x} h (x) & = (3 x^{2} + 2) \cdot \frac{d}{d x} (4 x - 1) + (4 x - 1) \cdot \frac{d}{d x} (3 x^{2} + 2) & = (3 x^{2} + 2) \cdot 4 + (4 x - 1) \cdot 6 x & = 12 x^{2} + 8 + 24 x^{2} - 6 x & = 36 x^{2} - 6 x + 8 \end{matrix}

Exemplo 2: Taxa Instantânea de Mudança

Suponha que queremos encontrar a derivada de $h (x) = (2 x^{3} + 1) (5 x - 3)$ quando $x = 1$ .

Primeiro, usaremos a Regra do Produto para encontrar a derivada:

\begin{matrix} \frac{d}{d x} h (x) & = (2 x^{3} + 1) \cdot \frac{d}{d x} (5 x - 3) + (5 x - 3) \cdot \frac{d}{d x} (2 x^{3} + 1) \\ = (2 x^{3} + 1) \cdot 5 + (5 x - 3) \cdot 6 x^{2} \\ = 10 x^{3} + 5 + 30 x^{3} - 18 x^{2} \\ = 40 x^{3} - 18 x^{2} + 5 \end{matrix}

Agora, encontraremos o valor da derivada quando $x = 1$ :

\begin{matrix} \frac{d}{d x} h (1) & = 40 (1)^{3} - 18 (1)^{2} + 5 \\ = 40 - 18 + 5 \\ = 27 \end{matrix}

Então, a taxa instantânea de mudança de $h (x)$ em $x = 1$ é 27.

Exemplo 3: Funções Trigonométricas

Vamos encontrar a derivada de $f (x) = \sin (x) \cdot \cos (x)$ usando a Regra do Produto.

\begin{matrix} \frac{d}{d x} f (x) & = \sin (x) \cdot \frac{d}{d x} \cos (x) + \cos (x) \cdot \frac{d}{d x} \sin (x) \\ = \sin (x) \cdot (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot \cos (x) \\ = - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \end{matrix}

Uma rápida observação para dizer que cobriremos as derivadas de funções trigonométricas em uma lição separada. Tenho certeza de que este exemplo será muito útil para mostrar como a Regra do Produto pode ser útil quando você está trabalhando com funções completamente diferentes, como funções trigonométricas.

Exemplo 4: Mais de Duas Funções

A Regra do Produto pode ser estendida para encontrar a derivada do produto de mais de duas funções. Para três funções, a fórmula se torna:

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (f (x) g (x) h (x)) & = f (x) g (x) \cdot \frac{d}{d x} h (x) + f (x) h (x) \cdot \frac{d}{d x} g (x) + g (x) h (x) \cdot \frac{d}{d x} f (x) \end{matrix}

Esse padrão pode ser estendido para encontrar a derivada do produto de qualquer número de funções. Por exemplo, vamos encontrar a derivada de $f (x) = (x^{2} + 1) (2 x - 3) (3 x + 4)$ .

Usando a Regra do Produto estendida:

$\begin{matrix} \frac{d}{d x} f (x) & = (x^{2} + 1) (2 x - 3) \cdot \frac{d}{d x} (3 x + 4) + (x^{2} + 1) (3 x + 4) \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 3) + (2 x - 3) (3 x + 4) \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \ & = (x^{2} + 1) (2 x - 3) \cdot 3 + (x^{2} + 1) (3 x + 4) \cdot 2 + (2 x - 3) (3 x + 4) \cdot 2 x \ & = 3 (x^{2} + 1) (2 x - 3) + 2 (x^{2} + 1) (3 x + 4) + 2 x (< / p > < p > 2 x - 3) (3 x + 4) \end{matrix}$

O resultado pode ser simplificado ainda mais expandindo os termos e combinando termos semelhantes.