Regra do Multiplicador Constante para encontrar Derivadas c/ Exemplos Passo a Passo

A Regra do Multiplicador Constante, também conhecida como Regra do Coeficiente Constante, é uma regra no cálculo utilizada para diferenciar funções que são multiplicadas por uma constante. Esta regra simplifica o processo de encontrar derivadas para funções que envolvem múltiplos constantes. A Regra do Multiplicador Constante afirma que a derivada de uma constante vezes uma função é igual à constante vezes a derivada da função.

Fórmula da Regra do Multiplicador Constante e Definição Formal

A fórmula da Regra do Multiplicador Constante é a seguinte:

\frac{d}{d x} (c f (x)) = c \cdot \frac{d}{d x} (f (x))

onde $c$ é uma constante e $f (x)$ é uma função de $x$ .

Para uma função $g (x) = c \cdot f (x)$ , onde $c$ é uma constante e $f (x)$ é uma função de $x$ , a derivada de $g (x)$ em relação a $x$ é dada por:

g^{'} (x) = \frac{d}{d x} (c \cdot f (x)) = c \cdot \frac{d}{d x} (f (x)) = c \cdot f^{'} (x)

Compreensão Intuitiva da Regra do Multiplicador Constante

Para entender intuitivamente a Regra do Multiplicador Constante, considere o seguinte exemplo. Seja $f (x) = x^{2}$ (representado em laranja abaixo), e vamos multiplicar esta função por uma constante $c = 3$ para obter $c \cdot g (x) = 3 \cdot (x^{2}) = 3 x^{2}$ (em azul abaixo).

Se pensarmos sobre o gráfico de $g (x)$ , ele terá a mesma forma que o gráfico de $f (x)$ , mas será esticado verticalmente por um fator de 3. Isso significa que para qualquer mudança em $x$ , a mudança em $g (x)$ será 3 vezes a mudança em $f (x)$ .

Agora, lembre-se de que a derivada de uma função em um ponto é a inclinação da linha tangente ao gráfico da função naquele ponto. Como o gráfico de $g (x)$ é esticado verticalmente por um fator de 3, a inclinação da linha tangente a $g (x)$ em qualquer ponto será 3 vezes a inclinação da linha tangente a $f (x)$ no ponto correspondente.

Portanto, a derivada de $g (x)$ será 3 vezes a derivada de $f (x)$ , que é exatamente o que a Regra do Multiplicador Constante afirma.

Passos para Aplicar a Regra do Multiplicador Constante

Identifique o coeficiente constante: Determine a constante $c$ que está multiplicando a função $f (x)$ .
Encontre a derivada da função interna: Calcule $\frac{d}{d x} (f (x))$ , que é a derivada da função sendo multiplicada pela constante.
Multiplique a constante e a derivada: Multiplique a constante $c$ do passo 1 e a derivada $\frac{d}{d x} (f (x))$ do passo 2 para obter o resultado final.

Prova da Regra do Multiplicador Constante

Para provar a Regra do Multiplicador Constante, podemos usar a definição de derivada:

g^{'} (x) = {lim}_{h \to 0} \frac{g (x + h) - g (x)}{h}

Passo 1: Substitua $g (x) = c f (x)$ na definição de derivada.

g^{'} (x) = {lim}_{h \to 0} \frac{c \cdot f (x + h) - c \cdot f (x)}{h}

Passo 2: Fatorar a constante $c$ .

g^{'} (x) = c \cdot {lim}_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Passo 3: Reconheça que ${lim}_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} = f^{'} (x)$ , que é a definição da derivada de $f (x)$ .

g^{'} (x) = c \cdot f^{'} (x)

Assim, provamos que a derivada de uma constante vezes uma função é igual à constante vezes a derivada da função.

Exemplos

Encontre a derivada de $f (x) = 3 x^{2} + 5 x$ .
Usando a Regra do Multiplicador Constante e a Regra do Expoente, obtemos:
$f^{'} (x) = 3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + 5 \cdot \frac{d}{d x} (x) = 3 \cdot 2 x + 5 \cdot 1 = 6 x + 5$
Encontre a derivada de $g (x) = - 2 \sin (x)$ .
Usando a Regra do Multiplicador Constante e a derivada do seno, obtemos:
$g^{'} (x) = - 2 \cdot \frac{d}{d x} (\sin (x)) = - 2 \cdot \cos (x)$
A posição de uma partícula é dada pela função $s (t) = 4 t^{3} - 2 t$ , onde $s$ é medida em metros e $t$ é medido em segundos. Encontre a velocidade e a aceleração da partícula no tempo $t$ .
Para encontrar a velocidade, tomamos a derivada da função posição usando a Regra do Multiplicador Constante e a Regra do Expoente:
$v (t) = s^{'} (t) = 4 \cdot \frac{d}{d t} (t^{3}) - 2 \cdot \frac{d}{d t} (t) = 4 \cdot 3 t^{2} - 2 \cdot 1 = 12 t^{2} - 2$
Para encontrar a aceleração, tomamos a derivada da função velocidade:
$a (t) = v^{'} (t) = 12 \cdot \frac{d}{d t} (t^{2}) = 12 \cdot 2 t = 24 t$
Portanto, a velocidade da partícula é $v (t) = 12 t^{2} - 2$ metros por segundo, e sua aceleração é $a (t) = 24 t$ metros por segundo ao quadrado.
Encontre a função de custo marginal se a função de custo total é dada por $C (x) = 100 x + 500$ , onde $C (x)$ é o custo total em dólares e $x$ é o número de unidades produzidas.
A função de custo marginal é a derivada da função de custo total. Usando a Regra do Multiplicador Constante, obtemos:
$M C (x) = C^{'} (x) = 100 \cdot \frac{d}{d x} (x) + 500 \cdot \frac{d}{d x} (1) = 100 \cdot 1 + 500 \cdot 0 = 100$
Portanto, o custo marginal é constante em 100 por unidade.
Resolva a equação diferencial $y^{″} - 4 y^{'} + 4 y = 0$ .
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-la, primeiro encontramos a equação característica substituindo $y^{″}$ por $r^{2}$ , $y^{'}$ por $r$ , e $y$ por $1$ :
$r^{2} - 4 r + 4 = 0$
Fatorando esta equação, obtemos:
$(r - 2)^{2} = 0$
Assim, a equação característica tem uma raiz dupla em $r = 2$ . Isso significa que a solução geral da equação diferencial é:
$y (x) = (C_{1} + C_{2} x) e^{2 x}$
onde $C_{1}$ e $C_{2}$ são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
Note que a Reg

ra do Multiplicador Constante foi usada implicitamente quando substituímos $y^{″}$ por $r^{2}$ , $y^{'}$ por $r$ , e $y$ por $1$ na equação característica, pois isso é equivalente a encontrar as derivadas de $e^{r x}$ e multiplicar pelos coeficientes constantes.