Regra do Expoente na Diferenciação para encontrar Derivadas

O que é a Regra do Expoente?

A Regra do Expoente é uma regra usada em cálculo para diferenciar funções onde uma variável está elevada a uma potência, como $x^5$. Ela facilita encontrar a derivada de polinômios e outras funções com termos de potência. A regra do expoente afirma que para encontrar a derivada de uma variável elevada a uma potência constante, você multiplica a potência pelo coeficiente e depois diminui a potência em um.

Aplicação da Regra do Expoente

A Regra do Expoente é usada quando você precisa encontrar a derivada de uma função que envolve uma variável elevada a uma potência constante. Esta regra é particularmente útil para diferenciar polinômios, que são somas de termos com diferentes potências da variável.

Por exemplo, para encontrar a derivada de $f(x)=x^3$, você aplicaria a Regra do Expoente:

Prova Matemática

Existem várias maneiras de provar a Regra do Expoente, incluindo o uso da indução matemática, o teorema binomial e a definição da derivada.

Prova da Regra do Expoente Usando Indução Matemática

Podemos provar a Regra do Expoente usando indução matemática para expoentes inteiros positivos.

1. Caso base: Para $n=1$, temos $f(x)=x^1=x$. Usando a definição da derivada, obtemos:

   $$\begin{gathered} f^{\prime }(x)\&={lim}_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ [\mathrm{2ex}]\&={lim}_{h\to 0}\frac{(x+h)-x}{h} \\ [\mathrm{2ex}]\&={lim}_{h\to 0}\frac{h}{h} \\ [\mathrm{2ex}]\&=1 \end{gathered}$$

   Isso corresponde à fórmula da Regra do Expoente: $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^1)=1x^{1-1}=1x^0=1$.

2. Passo indutivo: Suponha que a Regra do Expoente valha para $n=k$, ou seja, $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^k)=k{x}^{k-1}$. Precisamos provar que ela também vale para $n=k+1$.

   Seja $f(x)=x^{k+1}$. Usando a regra do produto, obtemos:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x·x^k)=x·\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^k)+x^k·\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x)$$

   Pela hipótese indutiva e pelo fato de que $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x)=1$, temos:

   $$f^{\prime }(x)=x·k{x}^{k-1}+x^k·1=k{x}^k+x^k=(k+1)x^k$$

   Isso corresponde à fórmula da Regra do Expoente para $n=k+1$: $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^{k+1})=(k+1)x^{(k+1)-1}=(k+1)x^k$.

Assim, por indução matemática, a Regra do Expoente vale para todos os expoentes inteiros positivos.

Prova da Fórmula da Regra do Expoente para Inteiros Negativos

Para provar a Regra do Expoente para expoentes inteiros negativos, podemos usar o fato de que $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$ e a Regra do Expoente para expoentes inteiros positivos.

Seja $f(x)=x^{-n}$, onde $n$ é um inteiro positivo. Usando a regra do quociente, obtemos:

Como $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(1)=0$ e $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^n)=n{x}^{n-1}$ (pela Regra do Expoente para expoentes inteiros positivos), temos:

Isso corresponde à fórmula da Regra do Expoente para expoentes inteiros negativos: $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^{-n})=-n{x}^{-n-1}$.

Algumas Outras Regras do Expoente no Cálculo

Regra do Expoente Para Expoentes: $(x^m{)}^n$ = $x^{mn}$

Esta regra afirma que ao elevar uma potência a outra potência, você pode multiplicar os expoentes. Por exemplo:

Regra do Expoente Para Logaritmos

A Regra do Expoente para Logaritmos afirma que o logaritmo de uma variável elevada a uma potência é igual à potência multiplicada pelo logaritmo da variável. Em outras palavras:

Por exemplo: