Regra da Soma para encontrar Derivadas

A Regra da Soma, também conhecida como Regra da Adição, é um princípio fundamental na diferenciação utilizado para encontrar a derivada da soma de duas ou mais funções. Esta regra simplifica o processo de diferenciação dessas funções e é amplamente usada em várias aplicações do cálculo, incluindo problemas de otimização, física e engenharia.

Passos para Aplicar a Regra da Soma

1. Identificar as funções: Determine as funções individuais $f(x)$, $g(x)$, ou quaisquer outras funções na soma dada.
2. Encontrar as derivadas de cada função: Diferencie cada função na soma com relação à sua variável usando as regras de diferenciação apropriadas.
3. Somar as derivadas: Some as derivadas das funções individuais obtidas no passo 2.
4. Simplificar o resultado: Se necessário, simplifique a expressão final obtida no passo 3.

Exemplo: Aplicando a Regra da Soma

Vamos considerar a função $h(x)=x^3+\sin (x)$.

1. As funções na soma são $f(x)=x^3$ e $g(x)=\sin (x)$.

2. A derivada de $x^3$ é $3x^2$ (usando a Regra do Expoente), e a derivada de $\sin (x)$ é $\cos (x)$.

3. Somando as derivadas:

   $$h^{\prime }(x)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^3+\sin (x))=\frac{\text{d}}{\text{d}x}{x}^3+\frac{\text{d}}{\text{d}x}\sin (x)=3x^2+\cos (x)$$

4. O resultado já está simplificado, então temos:

   $$h^{\prime }(x)=3x^2+\cos (x)$$

Assim, a derivada de $h(x)=x^3+\sin (x)$ é $h^{\prime }(x)=3x^2+\cos (x)$.

Prova da Regra da Soma

Para provar a Regra da Soma para diferenciação, usaremos a definição da derivada (ou seja, o primeiro princípio da diferenciação) e as propriedades do limite. Seja $h(x)=f(x)+g(x)$, onde $f(x)$ e $g(x)$ são funções diferenciáveis.

Prova:

Portanto, provamos que $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(f(x)+g(x))=\frac{\text{d}}{\text{d}x}f(x)+\frac{\text{d}}{\text{d}x}g(x)$.

Explicação Detalhada dos Passos da Prova

1. Comece com a definição de $h(x)$: $h(x)$ é definido como a soma de $f(x)$ e $g(x)$:

   $$h(x)=f(x)+g(x)$$

2. Definição da derivada: A derivada de $h(x)$ com relação a $x$ é dada por:

   $$h^{\prime }(x)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}(f(x)+g(x))$$

3. Aplique a definição de limite da derivada: Usando a definição de limite, a derivada pode ser escrita como:

   $$h^{\prime }(x)={lim}_{h\to 0}\frac{(f(x+h)+g(x+h))-(f(x)+g(x))}{h}$$

4. Distribua os termos no numerador: Reescreva a expressão dentro do limite distribuindo os termos:

   $$h^{\prime }(x)={lim}_{h\to 0}\frac{(f(x+h)+g(x+h))-f(x)-g(x)}{h}$$

5. Separe as frações: Divida a fração em duas frações separadas:

   $$h^{\prime }(x)={lim}_{h\to 0}[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}]$$

6. Use a propriedade da soma dos limites: Aplique a propriedade de que o limite de uma soma é a soma dos limites:

   $$h^{\prime }(x)={lim}_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+{lim}_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$$

7. Reconheça as derivadas individuais: Cada termo dentro dos limites representa a derivada das respectivas funções:

   $$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$$

Assim, provamos que: