Regra da Constante para encontrar Derivadas

A Regra da Constante é uma regra de diferenciação usada para encontrar a derivada de uma função constante. Uma função constante é uma função que sempre retorna o mesmo valor, independentemente da entrada. Em outras palavras, o gráfico de uma função constante é uma linha horizontal. A Regra da Constante afirma que a derivada de uma função constante é sempre zero.

Fórmula da Regra da Constante e Definição Formal

A fórmula da Regra da Constante é a seguinte:

ddx(c)=0

Seja c uma constante. Se f(x)=c, então a derivada de f(x) em relação a x é dada por:

f(x)=ddx(c)=0

Derivando a Regra da Constante

Para entender por que a Regra da Constante funciona, vamos derivá-la usando a definição de limite da derivada. Dada uma função constante f(x)=c, temos:

f(x)=limh0f(x+h)f(x)h

Como f(x)=c e f(x+h)=c (a função sempre retorna o mesmo valor), podemos substituir esses valores na definição de limite:

f(x)=limh0cch=limh00h=limh00=0

Portanto, mostramos que a derivada de uma função constante é sempre zero.

Significado da Regra da Constante

A Regra da Constante é uma ótima maneira de entender o comportamento de funções mais complexas. É muito útil para descobrir se uma função polinomial ou racional é constante ou baseada em potência (por exemplo, g(x)=xn, onde n é um inteiro positivo).

Entendendo que a derivada de um termo constante é sempre zero, podemos tornar o processo de encontrar derivadas para essas funções mais complexas muito mais fácil. Vamos dar uma olhada em um exemplo. Quando diferenciamos um polinômio, a Regra da Constante nos ajuda a focar nos termos não constantes. Isso porque a derivada do termo constante será sempre zero.

Exemplo: Aplicando a Regra da Constante

Vamos considerar a função f(x)=5x3+2x7.

Para encontrar a derivada dessa função, podemos aplicar a Regra da Constante ao termo constante e a Regra do Expoente aos termos não constantes:

f(x)=ddx(5x3)+ddx(2x)ddx(7)

Usando a Regra do Expoente para os dois primeiros termos e a Regra da Constante para o último termo, obtemos:

f(x)=15x2+20=15x2+2

Assim, a derivada de f(x)=5x3+2x7 é f(x)=15x2+2.