Regra da Cadeia para encontrar Derivadas c/ Exemplos Passo a Passo

A regra da cadeia é uma regra de diferenciação usada para encontrar a derivada de uma função composta. Uma função composta é uma função que pode ser escrita como a composição de duas ou mais funções, por exemplo, $f (g (x))$ . A regra da cadeia nos permite decompor a derivada da função composta nas derivadas de suas funções interna e externa.

A Fórmula da Regra da Cadeia

Se $h (x) = f (g (x))$ , onde $f$ e $g$ são ambas funções diferenciáveis, então a derivada de $h$ é dada por:

h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

Em outras palavras, para encontrar a derivada de $h (x)$ :

Primeiro, tome a derivada da função externa $f$ , tratando a função interna $g (x)$ como a variável de entrada.
Em seguida, multiplique pela derivada da função interna $g$ .

Isso pode ser entendido intuitivamente como:

$f^{'} (g (x))$ representa a taxa de variação de $f$ em relação a $g (x)$
$g^{'} (x)$ representa a taxa de variação de $g (x)$ em relação a $x$
Multiplicar esses dois valores nos dá a taxa geral de variação de $f (g (x))$ em relação a $x$ , através da regra da cadeia.

O que é uma Função Composta?

Uma função composta é uma função formada pela combinação de duas ou mais funções, onde a saída de uma função se torna a entrada da próxima função. Se $f$ e $g$ são duas funções, então a função composta $h (x) = f (g (x))$ é a função obtida aplicando $f$ ao resultado de $g$ .

Na notação $f (g (x))$ :

$g$ é chamada de função interna
$f$ é chamada de função externa

A função composta $h (x)$ pode ser avaliada primeiro avaliando a função interna $g (x)$ e, em seguida, avaliando a função externa $f$ no valor de $g (x)$ .

Exemplo

Seja $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 3 x + 1$ . Então, a função composta $h (x) = f (g (x))$ é:

$h (x) = f (g (x)) = (3 x + 1)^{2} = 9 x^{2} + 6 x + 1$

Aqui, primeiro avaliamos $g (x) = 3 x + 1$ e, em seguida, elevamos o resultado ao quadrado para obter $h (x)$ .

Funções compostas podem ser mais complexas, envolvendo várias funções internas e externas. Por exemplo, $\sin (\ln (x^{2} + 1))$ é uma função composta onde:

A função interna é $x^{2} + 1$
A função intermediária é $\ln (x)$
A função externa é $\sin (x)$

Aqui, teríamos que aplicar a regra da cadeia várias vezes para calcular a derivada.

Passos para Aplicar a Regra da Cadeia

Identifique a função composta: Certifique-se de que a função dada é uma função composta, o que significa que uma função está aninhada dentro de outra.
Identifique as funções interna e externa: Determine qual função é a função interna (aquela que é avaliada primeiro) e qual é a função externa (aquela que recebe o resultado da função interna como sua entrada).
Encontre a derivada da função externa: Diferencie a função externa, tratando a função interna como uma variável.
Encontre a derivada da função interna: Diferencie a função interna em relação à sua variável.
Multiplique as derivadas: Multiplique os resultados dos passos 3 e 4.
Simplifique o resultado: Se necessário, simplifique a expressão final obtida no passo 5.

Quando Usar a Regra da Cadeia

A regra da cadeia é usada ao diferenciar uma função composta da forma $f (g (x))$ . Se a função composta pode ser escrita como uma função externa $f$ aplicada a uma função interna $g$ , ou seja, $h (x) = f (g (x))$ , então a regra da cadeia se aplica.

Alguns exemplos comuns onde a regra da cadeia é aplicável incluem:

Funções elevadas a uma potência, por exemplo, $(x^{2} + 1)^{3}$
Funções trigonométricas com uma entrada não trivial, por exemplo, $\sin (x^{3})$ , $\tan (\sqrt{x})$
Funções exponenciais ou logarítmicas com uma entrada não trivial, por exemplo, $e^{\cos (x)}$ , $\ln (x^{2} + 1)$

Exemplos

Vamos ver alguns exemplos para solidificar nosso entendimento.

Exemplo 1

Encontre a derivada de $h (x) = (3 x^{2} + 1)^{5}$

Podemos reescrever $h$ como uma função composta: $f (g (x))$ onde $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = 3 x^{2} + 1$

Aplicando a regra da cadeia:

$h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

$f^{'} (x) = 5 x^{4}$ , então $f^{'} (g (x)) = 5 (3 x^{2} + 1)^{4}$

$g^{'} (x) = 6 x$

Portanto, $h^{'} (x) = 5 (3 x^{2} + 1)^{4} \cdot 6 x = 30 x (3 x^{2} + 1)^{4}$

Exemplo 2

Encontre a derivada de $h (x) = \sin (\ln (x))$

Reescrevendo como uma função composta: $f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \ln (x)$

Aplicando a regra da cadeia:

$h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

$f^{'} (x) = \cos (x)$ , então $f^{'} (g (x)) = \cos (\ln (x))$

$g^{'} (x) = \frac{1}{x}$

Portanto, $h^{'} (x) = \cos (\ln (x)) \cdot \frac{1}{x} = \frac{\cos (\ln (x))}{x}$