Encontrando Derivadas de Funções Exponenciais c/ Exemplos Passo a Passo

Uma função exponencial é uma função da forma $f (x) = a^{x}$ , onde $a$ é uma constante positiva diferente de 1, e $x$ é uma variável. A derivada de uma função exponencial descreve a taxa de variação da função em relação à sua variável.

Fórmula e Definição Formal

A derivada de uma função exponencial $f (x) = a^{x}$ , onde $a > 0$ e $a \neq 1$ , é dada por:

f^{'} (x) = a^{x} \ln (a)

Para uma função exponencial $f (x) = a^{x}$ , onde $a > 0$ e $a \neq 1$ , a derivada em relação a $x$ é:

\frac{d}{d x} (a^{x}) = a^{x} \ln (a)

onde $\ln (a)$ é o logaritmo natural de $a$ .

Derivada da Função Exponencial $e^{x}$

Um caso especial da função exponencial é $f (x) = e^{x}$ , onde $e$ é o número de Euler (aproximadamente 2.71828). A derivada de $e^{x}$ é particularmente simples:

f^{'} (x) = e^{x}

Isso ocorre porque $\ln (e) = 1$ , então:

\frac{d}{d x} (e^{x}) = e^{x} \ln (e) = e^{x} \cdot 1 = e^{x}

A Propriedade Única da Função Exponencial $e^{x}$

A função exponencial $f (x) = e^{x}$ possui uma propriedade única: ela é sua própria derivada! Isso significa que a taxa de variação de $e^{x}$ é igual à própria função. Em outras palavras, a inclinação da linha tangente ao gráfico de $e^{x}$ em qualquer ponto é igual ao valor de $e^{x}$ naquele ponto.

Esta propriedade torna a função exponencial $e^{x}$ realmente especial. Na verdade, é tão especial que é uma das funções mais importantes no cálculo e suas aplicações. É a única função (até um múltiplo constante) que possui essa propriedade incrível! A função exponencial $e^{x}$ aparece em muitos modelos matemáticos de fenômenos naturais, como crescimento populacional, decaimento radioativo e juros compostos. Por quê? Porque sua taxa de variação é diretamente proporcional ao seu valor atual.

A propriedade única de $e^{x}$ pode ser derivada da definição da função exponencial e das propriedades dos logaritmos. Considere a função $f (x) = a^{x}$ , onde $a > 0$ e $a \neq 1$ . Se definirmos $a = e^{\ln (a)}$ , podemos reescrever a função como:

f (x) = (e^{\ln (a)})^{x} = e^{x \ln (a)}

Usando a regra da cadeia, podemos encontrar a derivada dessa função:

f^{'} (x) = e^{x \ln (a)} \cdot \ln (a)

Se definirmos $a = e$ , então $\ln (a) = \ln (e) = 1$ , e obtemos:

f^{'} (x) = e^{x \ln (e)} \cdot \ln (e) = e^{x} \cdot 1 = e^{x}

Assim, a função exponencial $f (x) = e^{x}$ é a única função exponencial (até um múltiplo constante) que é sua própria derivada.

Prova da Derivada de uma Função Exponencial

Para provar a derivada de uma função exponencial $f (x) = a^{x}$ , podemos usar a definição de derivada:

f^{'} (x) = {lim}_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Passo 1: Substituímos $f (x) = a^{x}$ na definição de derivada.

f^{'} (x) = {lim}_{h \to 0} \frac{a^{x + h} - a^{x}}{h}

Passo 2: Reescrevemos $a^{x + h}$ como $a^{x} \cdot a^{h}$ .

f^{'} (x) = {lim}_{h \to 0} \frac{a^{x} \cdot a^{h} - a^{x}}{h}

Passo 3: Fatoramos $a^{x}$ .

f^{'} (x) = a^{x} {lim}_{h \to 0} \frac{a^{h} - 1}{h}

Passo 4: Reconhecemos que ${lim}_{h \to 0} \frac{a^{h} - 1}{h} = \ln (a)$ .

f^{'} (x) = a^{x} \ln (a)

Assim, provamos que a derivada de uma função exponencial $f (x) = a^{x}$ é $f^{'} (x) = a^{x} \ln (a)$ . Esta prova depende das propriedades dos exponenciais e logaritmos, bem como da definição de derivada.

Gráfico da Derivada de uma Função Exponencial

O gráfico de uma função exponencial $f (x) = a^{x}$ depende do valor de $a$ :

Se $a > 1$ , a função é crescente e o gráfico cresce rapidamente.
Se $0 < a < 1$ , a função é decrescente e o gráfico se aproxima do eixo x à medida que x aumenta.

O gráfico da derivada de uma função exponencial $f^{'} (x) = a^{x} \ln (a)$ é semelhante à função original, mas é escalado por um fator de $\ln (a)$ :

Se $a > 1$ , então $\ln (a) > 0$ , portanto a derivada é positiva e o gráfico está crescendo.
Se $0 < a < 1$ , então $\ln (a) < 0$ , portanto a derivada é negativa e o gráfico está decrescendo.

Aqui estão alguns exemplos de funções exponenciais e suas derivadas:

$5^{x}$ em azul
$2^{x}$ em laranja
${(\frac{1}{2})}^{x}$ em verde

Os gráficos ilustram a relação entre uma função exponencial e sua derivada, com as linhas sólidas representando as funções originais e as linhas tracejadas suas derivadas. A derivada de uma função exponencial é proporcional à função original, onde a constante de proporcionalidade é $\ln (a)$ . Para $0 < a < 1$ , a função $a^{x}$ decai à medida que $x$ aumenta, e sua derivada, que também decai, tem um valor negativo porque $\ln (a)$ é negativo. O resultado é que tanto a função quanto sua derivada são funções decrescentes. Por outro lado, para $a > 1$ , a função $a^{x}$ aumenta exponencialmente e sua derivada, escalada por $\ln (a)$ , é positiva e também crescente.

Outra propriedade de todas as funções exponenciais é que seus gráficos passam pelo ponto (0, 1), pois $a^{0} = 1$ .

Aplicações da Derivada de Funções Exponenciais

A derivada das funções exponenciais possui inúmeras aplicações em vários campos:

Crescimento populacional: Funções exponenciais podem modelar o crescimento de populações, e suas derivadas descrevem a taxa de variação da população ao longo do tempo.
Decaimento radioativo: O decaimento de substâncias

radioativas segue uma lei exponencial, e a derivada dessa função dá a taxa de decaimento em qualquer momento.

Juros compostos: O crescimento de um investimento com juros compostos pode ser modelado por uma função exponencial, e sua derivada representa a taxa instantânea de variação do valor do investimento.
Resfriamento e aquecimento: A lei de resfriamento de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre sua temperatura e a temperatura ambiente, levando a funções exponenciais e suas derivadas.
Reações químicas: As taxas de muitas reações químicas são descritas por funções exponenciais, e suas derivadas dão a taxa instantânea de variação das concentrações de reagentes ou produtos.

Exemplos

Encontre a derivada de $f (x) = 3^{x} + 3^{x^{2}}$ .
Usando a regra da soma e a regra da cadeia, obtemos:
$f^{'} (x) = 3^{x} \ln (3) + 3^{x^{2}} \cdot 2 x \ln (3)$
Encontre a derivada de $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + x}$ .
Usando a regra do quociente, obtemos:
$f^{'} (x) = \frac{e^{x} (1 + x) - e^{x}}{(1 + x)^{2}} = \frac{x e^{x}}{(1 + x)^{2}}$
A população de uma cidade está crescendo exponencialmente de acordo com a função $P (t) = 50000 \cdot {1.03}^{t}$ , onde $t$ é o número de anos desde 2000. Encontre a taxa de crescimento populacional no ano 2050.
Primeiro, encontramos a derivada de $P (t)$ :
$P^{'} (t) = 50000 \cdot {1.03}^{t} \ln (1.03)$
Então, calculamos a taxa de crescimento em 2050 avaliando $P^{'} (50)$ :
$P^{'} (50) = 50000 \cdot {1.03}^{50} \ln (1.03) \approx 6479 pessoas por ano$

Derivadas de Funções Exponenciais