Derivada de tanh(x) - Prova e Explicação

Prova

Começamos definindo tanh(x) como sinh(x)cosh(x). Para encontrar a derivada, usamos a regra do quociente, que afirma que a derivada de um quociente uv é uvuvv2.

Aqui, seja u=sinh(x) e v=cosh(x). As derivadas são u=cosh(x) e v=sinh(x).

Aplicando a regra do quociente, temos:

ddxtanh(x)=cosh(x)cosh(x)sinh(x)sinh(x)cosh2(x)

Isso simplifica para:

cosh2(x)sinh2(x)cosh2(x)

Usando a identidade cosh2(x)sinh2(x)=1, obtemos:

1cosh2(x)=sech2(x)

Assim, a derivada de tanh(x) é:

sech2(x)

Explicação

Para entender a derivada de tanh(x), vamos começar reconhecendo que tanh(x) é definido como a razão entre a função seno hiperbólico sinh(x) e a função cosseno hiperbólico cosh(x), então tanh(x)=sinh(x)cosh(x). Isso representa a tangente hiperbólica, que é comumente usada em cálculo e geometria hiperbólica.

Para encontrar a derivada de tanh(x), aplicamos a <strong>regra do quociente.</strong> A regra do quociente nos ajuda a diferenciar funções que são expressas como o quociente de outras duas funções. Especificamente, se uma função é dada como uv, sua derivada é uvuvv2, onde u e v são funções diferenciáveis de x.

No caso de tanh(x), temos u=sinh(x) e v=cosh(x). A derivada de sinh(x) é cosh(x), e a derivada de cosh(x) é sinh(x).

Aplicando a regra do quociente, substituímos as derivadas:

ddxtanh(x)=cosh(x)cosh(x)sinh(x)sinh(x)cosh2(x)

O numerador simplifica para cosh2(x)sinh2(x). De acordo com a identidade hiperbólica, cosh2(x)sinh2(x)=1. Isso simplifica toda a expressão para:

1cosh2(x)

A expressão 1cosh2(x) é a definição de sech2(x), que representa o quadrado da função secante hiperbólica.

Portanto, a derivada de tanh(x) com relação a x é sech2(x).

Q.E.D.