Prova
Começamos definindo como . Para encontrar a derivada, usamos a regra do quociente, que afirma que a derivada de um quociente é .
Aqui, seja e . As derivadas são e .
Aplicando a regra do quociente, temos:
Isso simplifica para:
Usando a identidade , obtemos:
Assim, a derivada de é:
Explicação
Para entender a derivada de , vamos começar reconhecendo que é definido como a razão entre a função seno hiperbólico e a função cosseno hiperbólico , então . Isso representa a tangente hiperbólica, que é comumente usada em cálculo e geometria hiperbólica.
Para encontrar a derivada de , aplicamos a <strong>regra do quociente.</strong> A regra do quociente nos ajuda a diferenciar funções que são expressas como o quociente de outras duas funções. Especificamente, se uma função é dada como , sua derivada é , onde e são funções diferenciáveis de .
No caso de , temos e . A derivada de é , e a derivada de é .
Aplicando a regra do quociente, substituímos as derivadas:
O numerador simplifica para . De acordo com a identidade hiperbólica, . Isso simplifica toda a expressão para:
A expressão é a definição de , que representa o quadrado da função secante hiperbólica.
Portanto, a derivada de com relação a é .
Q.E.D.