Derivada de tan(x) - Prova e Explicação

Prova #1

Explicação

1. A prova começa com a definição da função tangente:

   $\tan x=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

2. Em seguida, usa as derivadas previamente provadas de seno e cosseno:

   $\frac{d}{dx}\sin (x)=\cos (x)$ $\frac{d}{dx}\cos (x)=-\sin (x)$

3. A regra do quociente para derivadas é então aplicada. Esta regra afirma que para duas funções $u(x)$ e $v(x)$:

   $\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)=\frac{v(x)\frac{d}{dx}u(x)-u(x)\frac{d}{dx}v(x)}{[v(x){]}^2}$

   Neste caso, $u(x)=\sin (x)$ e $v(x)=\cos (x)$. Aplicando a regra do quociente obtemos:

   $\frac{d}{dx}\tan (x)=\frac{\cos (x)\cos (x)-\sin (x)(-\sin (x))}{{\cos }^2(x)}$

4. O numerador é simplificado usando a identidade trigonométrica padrão ${\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)=1$:

   $\frac{d}{dx}\tan (x)=\frac{{\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)}{{\cos }^2(x)}$

5. Usando a identidade do passo 4, o numerador simplifica para 1:

   $\frac{d}{dx}\tan (x)=\frac{1}{{\cos }^2(x)}$

6. A prova é válida apenas quando $\cos (x)\ne 0$, pois a divisão por zero é indefinida.

7. Finalmente, o resultado segue do fato de que $\sec (x)=\frac{1}{\cos (x)}$ (a secante é o recíproco do cosseno).

Portanto, a derivada de $\tan (x)$ é ${\sec }^2(x)$.

Prova #2

Explicação

1. A prova começa com a definição da derivada de uma função real em um ponto. Neste caso, é a derivada da tangente em relação a $x$, que é o limite quando $h$ se aproxima de $0$ de $\frac{\tan (x+h)-\tan x}{h}$.

2. O próximo passo usa a identidade trigonométrica para a tangente de uma soma: $\tan (A+B)=\frac{\tan (A)+\tan (B)}{1-\tan (A)\tan (B)}$. Aqui, $A$ é $x$ e $B$ é $h$. Aplicando essa identidade a $\tan (x+h)$, obtemos: $\frac{\tan (x)+\tan (h)}{1-\tan (x)\tan (h)}$.

3. O numerador é então expandido adicionando e subtraindo $\tan (x)$: $\frac{\tan (x)+\tan (h)-\tan (x)+{\tan }^2(x)\tan (h)}{1-\tan (x)\tan (h)}$.

4. O numerador é fatorado e o denominador é multiplicado por $h$: $\frac{\tan (h)+{\tan }^2(x)\tan (h)}{h(1-\tan (x)\tan (h))}$.

5. A regra do produto para limites é aplicada, dividindo o limite no produto de dois limites: ${lim}_{h\to 0}\frac{1+{\tan }^2(x)}{1-\tan (x)\tan (h)}·{lim}_{h\to 0}\frac{\tan (h)}{h}$.

6. O segundo limite é um limite padrão: ${lim}_{h\to 0}\frac{\tan (h)}{h}=1$. No primeiro limite, $\tan (0)=0$, então quando $h\to 0$, $\tan (h)\to 0$. Assim, o primeiro limite se avalia para $\frac{1+{\tan }^2(x)}{1-\tan (x)\tan 0}=1+{\tan }^2(x)$.

7. O resultado é simplificado usando a identidade trigonométrica $1+{\tan }^2(x)={\sec }^2(x)$.

8. Finalmente, o resultado é expresso em termos de cosseno usando a identidade $\sec (x)=\frac{1}{\cos (x)}$, desde que $\cos (x)\ne 0$.

Portanto, a derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\boxed{{\sec }^2(x)}$ ou

$\frac{1}{{\cos }^2(x)}$, desde que $\cos (x)\ne 0$.