Derivada da Raiz Quadrada sqrt(x) - Prova e Explicação

Prova

1. Definição de $\sqrt{x}$:

   $$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

2. Usando a regra do poder:

   $$\text{Se }y=x^n,\text{ então }{y}^{\prime }=n{x}^{n-1}$$

   Seja $n=\frac{1}{2}$:

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}{x}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}$$

3. Simplificar a expressão:

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}{x}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$$

4. Reescrever usando a raiz quadrada:

   $$x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Assim, a derivada de $\sqrt{x}$ é:

Explicação

Para entender a derivada de $\sqrt{x}$, começamos expressando $\sqrt{x}$ como uma potência de $x$. Especificamente, $\sqrt{x}$ pode ser escrita como $x^{\frac{1}{2}}$. Essa forma nos permite usar a regra do poder para diferenciação.

A regra do poder afirma que se temos uma função $x^n$, sua derivada com relação a $x$ é $n{x}^{n-1}$. Aqui, nosso expoente $n$ é $\frac{1}{2}$.

Aplicando a regra do poder a $x^{\frac{1}{2}}$, obtemos:

Em seguida, simplificamos o expoente $\frac{1}{2}-1$, que é igual a $-\frac{1}{2}$. Portanto, nossa expressão para a derivada se torna:

Para tornar essa expressão mais familiar, reescrevemos $x^{-\frac{1}{2}}$ usando a notação da raiz quadrada. Como $x^{-\frac{1}{2}}$ é o mesmo que $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$, e $x^{\frac{1}{2}}$ é $\sqrt{x}$, obtemos:

Substituindo isso de volta na nossa expressão para a derivada, temos:

Portanto, a derivada de $\sqrt{x}$ com relação a $x$ é $\boxed{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$.

Q.E.D.