Derivada da Raiz Quadrada sqrt(x) - Prova e Explicação

Prova

  1. Definição de x:

    x=x12
  2. Usando a regra do poder:

    Se y=xn, então y=nxn1

    Seja n=12:

    ddxx12=12x121
  3. Simplificar a expressão:

    ddxx12=12x12
  4. Reescrever usando a raiz quadrada:

    x12=1x

Assim, a derivada de x é:

ddxx=12x

Explicação

Para entender a derivada de x, começamos expressando x como uma potência de x. Especificamente, x pode ser escrita como x12. Essa forma nos permite usar a regra do poder para diferenciação.

A regra do poder afirma que se temos uma função xn, sua derivada com relação a x é nxn1. Aqui, nosso expoente n é 12.

Aplicando a regra do poder a x12, obtemos:

ddxx12=12x121

Em seguida, simplificamos o expoente 121, que é igual a 12. Portanto, nossa expressão para a derivada se torna:

12x12

Para tornar essa expressão mais familiar, reescrevemos x12 usando a notação da raiz quadrada. Como x12 é o mesmo que 1x12, e x12 é x, obtemos:

x12=1x

Substituindo isso de volta na nossa expressão para a derivada, temos:

ddxx12=12·1x=12x

Portanto, a derivada de x com relação a x é 12x.

Q.E.D.