Derivada de sinh(x) - Prova e Explicação

Prova

A função seno hiperbólico é definida como:

\sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}

Para encontrar a derivada, usamos a derivada das funções exponenciais. A derivada de $e^{x}$ é $e^{x}$ , e a derivada de $e^{- x}$ é $- e^{- x}$ .

Agora, diferenciando $\sinh (x)$ :

\frac{d}{d x} (\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}) = \frac{1}{2} (e^{x} - (- e^{- x}))

Isso simplifica para:

\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x}) = \cosh (x)

Assim, a derivada de $\sinh (x)$ é:

\frac{d}{d x} \sinh (x) = \cosh (x)

Explicação

A função seno hiperbólico, $\sinh (x)$ , é semelhante à função seno, mas baseada em funções exponenciais. Ela é definida como:

\sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}

Esta expressão representa a diferença entre o crescimento exponencial $e^{x}$ e o decaimento exponencial $e^{- x}$ , dividida por dois.

Para encontrar a derivada, diferenciamos cada parte da função. A derivada de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ , e a derivada de $e^{- x}$ com relação a $x$ é $- e^{- x}$ . Isso se deve à regra da cadeia, onde a derivada de $- x$ é $- 1$ .

Substituindo essas derivadas na fórmula para $\sinh (x)$ :

\frac{d}{d x} (\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}) = \frac{1}{2} (e^{x} - (- e^{- x}))

Isso simplifica para:

\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})

Esta expressão é exatamente a definição de $\cosh (x)$ , a função cosseno hiperbólico:

\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = \cosh (x)

Q.E.D.