Derivada de sin(x) - Prova e Explicação

Prova

Explicação

1. A prova começa afirmando a definição da derivada de uma função real em um ponto. Neste caso, é a derivada do seno com respeito a $x$, que é o limite quando $h$ se aproxima de $0$ de $\frac{\sin (x+h)-\sin (x)}{h}$.

2. O próximo passo utiliza a identidade trigonométrica para o seno da soma: $\sin (A+B)=\sin (A)\cos (B)+\cos (A)\sin (B)$. Aqui, $A$ é $x$ e $B$ é $h$. Aplicando essa identidade a $\sin (x+h)$, obtemos: $\sin (x)\cos (h)+\sin (h)\cos (x)$.

3. O numerador é então reorganizado, coletando os termos que contêm $\sin (x)$. Especificamente, $\sin (x)$ é fatorado dos termos que o envolvem e $\sin (x)\cos (h)-\sin (x)$ é fatorado para $\sin (x)(\cos (h)-1)$, e $\sin (h)\cos (x)$ é deixado como está. O denominador $h$ permanece inalterado.

4. O limite é dividido em duas partes usando a regra da soma para limites. Essa regra afirma que o limite de uma soma é igual à soma dos limites, desde que ambos os limites existam. Então agora temos dois limites: um para $\frac{\sin (x)(\cos (h)-1)}{h}$ e outro para $\frac{\sin (h)\cos (x)}{h}$.

5. Podemos avaliar cada um desses limites separadamente. O limite de $\frac{\sin (h)}{h}$ quando $h$ se aproxima de $0$ é igual a $1$ (este é um limite padrão). O limite de $\frac{\cos (h)-1}{h}$ quando $h$ se aproxima de $0$ é igual a $0$ (este é outro limite padrão). Quando multiplicamos esses limites por $\sin (x)$ e $\cos (x)$ respectivamente, obtemos $\sin (x)·0$ e $1·\cos (x)$.

6. Somando esses resultados conforme a regra da soma para limites, obtemos $0+\cos (x)$, que simplifica para $\cos (x)$.

QED: Portanto, a derivada de $\sin (x)$ com respeito a $x$ é $\boxed{\cos (x)}$.