Derivada de sec(x) - Prova e Explicação | Derivative-Calculator.org

Para encontrar a derivada de $\sec (x)$ , começamos reescrevendo-a em uma forma que possa ser mais fácil de diferenciar. Lembre-se de que:

\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)}

Para diferenciar isso, usamos a <strong>regra do quociente</strong>. A regra do quociente estabelece que para duas funções $u (x)$ e $v (x)$ , a derivada de seu quociente $\frac{u}{v}$ é dada por:

\frac{d}{d x} (\frac{u}{v}) = \frac{v \frac{d u}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{v^{2}}

No nosso caso:

$u = 1$ (o numerador)
$v = \cos (x)$ (o denominador)

Passo 1: Diferenciar $u$ e $v$

A derivada de $u$ com relação a $x$ é $0$ porque $u = 1$ – uma constante.
A derivada de $v = \cos (x)$ com relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

Passo 2: Aplicar a regra do quociente

Substituindo isso na regra do quociente:

\frac{d}{d x} (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\cos (x) \cdot 0 - 1 \cdot (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}

Isso simplifica para:

\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}

Passo 3: Simplificar o resultado

Agora, podemos reescrever essa expressão em termos de outras funções trigonométricas:

\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \tan (x) \cdot \sec (x)

Assim, a derivada de $\sec (x)$ é:

\sec (x) \cdot \tan (x)

Q.E.D.