Derivada de log(x) - Prova e Explicação

Prova

Seja $y=\ln (x)$. Para encontrar a derivada, usamos a definição do logaritmo natural:

1. Reescreva $y=\ln (x)$ como $x=e^y$.

2. Diferencie ambos os lados com respeito a $x$:

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}(e^y)$$

3. Isso nos dá:

   $$1=e^y\frac{dy}{dx}$$

4. Resolva para $\frac{dy}{dx}$:

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}$$

5. Substitua $e^y=x$:

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}$$

Assim, a derivada de $\ln (x)$ é:

Explicação

A função logaritmo natural, $\ln (x)$, é o inverso da função exponencial $e^x$. Para encontrar a derivada, começamos definindo $y=\ln (x)$. Isso significa que $x$ pode ser expresso como $e^y$.

Ao diferenciar ambos os lados com respeito a $x$, o lado esquerdo simplesmente se torna $1$. Para o lado direito, usando a regra da cadeia, a derivada de $e^y$ com respeito a $x$ é $e^y\frac{dy}{dx}$.

Igualando essas expressões, obtemos a equação $1=e^y\frac{dy}{dx}$. Então, resolvemos para $\frac{dy}{dx}$, o que envolve dividir ambos os lados por $e^y$. Isso simplifica para $\frac{1}{e^y}$.

Finalmente, como $e^y=x$ (da nossa substituição original), podemos substituir de volta para obter $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}$.

Portanto, a derivada de $\ln (x)$ é $\boxed{\frac{1}{x}}$.

Q.E.D.