Derivada de csc(x) - Prova e Explicação

Prova

Começamos definindo $\csc (x)$ como $\frac{1}{\sin (x)}$. Para encontrar a derivada, usamos a regra do quociente, que afirma que a derivada de um quociente $\frac{u}{v}$ é $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$.

Aqui, seja $u=1$ e $v=\sin (x)$. A derivada de $u$ com relação a $x$ é $0$ já que é uma constante, e a derivada de $v=\sin (x)$ é $\cos (x)$.

Aplicando a regra do quociente, temos:

Em seguida, simplificamos $-\frac{\cos (x)}{{\sin }^2(x)}$. Isso pode ser reescrito como $-\frac{1}{\sin (x)}·\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$, que simplifica para $-\csc (x)\cot (x)$.

Assim, a derivada de $\csc (x)$ é:

Explicação

Para entender essa derivada, primeiro reconhecemos que $\csc (x)$ é o recíproco da função seno, definida como $\csc (x)=\frac{1}{\sin (x)}$. Isso significa que para qualquer ângulo $x$, $\csc (x)$ representa a razão da hipotenusa pelo cateto oposto em um triângulo retângulo.

Ao encontrar a derivada de $\csc (x)$, usamos a regra do quociente porque envolve a divisão de duas funções. De acordo com a regra do quociente, a derivada de uma função expressa como $\frac{u}{v}$ é $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, onde $u$ e $v$ são funções de $x$.

No nosso caso, escolhemos $u=1$ (uma função constante) e $v=\sin (x)$. A derivada de uma constante $(1)$ é $0$, e a derivada de $\sin (x)$ é $\cos (x)$.

Aplicando essas derivadas na regra do quociente, encontramos:

Isso simplifica para $-\frac{\cos (x)}{{\sin }^2(x)}$ já que o termo $0·\sin (x)$ é zero e $-1·\cos (x)$ é $-\cos (x)$.

Em seguida, simplificamos $-\frac{\cos (x)}{{\sin }^2(x)}$. Pode ser expresso como $-\frac{1}{\sin (x)}·\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$. Aqui, $\frac{1}{\sin (x)}$ é a definição de $\csc (x)$, e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ é $\cot (x)$. Portanto, a expressão simplifica para $-\csc (x)\cot (x)$.

Portanto, a derivada de $\csc (x)$ com relação a $x$ é $\boxed{-\csc (x)·\cot (x)}$.