Derivada de coth(x) - Prova e Explicação

Prova

Para encontrar a derivada de $\coth (x)$, começamos com sua definição:

Usando a regra do quociente, que afirma que a derivada de um quociente $\frac{u}{v}$ é:

Seja $u=\cosh (x)$ e $v=\sinh (x)$. As derivadas são $u^{\prime }=\sinh (x)$ e $v^{\prime }=\cosh (x)$.

Aplicando a regra do quociente:

Simplificando o numerador:

Assim, a derivada torna-se:

Portanto, a derivada de $\coth (x)$ é:

Explicação

Para entender a derivada de $\coth (x)$, começamos reconhecendo sua definição como a função cotangente hiperbólica, expressa como $\coth (x)=\frac{\cosh (x)}{\sinh (x)}$. Esta função representa a razão do cosseno hiperbólico para o seno hiperbólico.

Usamos a regra do quociente para encontrar a derivada de um quociente de duas funções. De acordo com esta regra, para uma função $\frac{u}{v}$, a derivada é $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, onde $u$ e $v$ são ambas funções de $x$.

No caso de $\coth (x)$, definimos $u=\cosh (x)$ e $v=\sinh (x)$. A derivada de $\cosh (x)$ é $\sinh (x)$, e a derivada de $\sinh (x)$ é $\cosh (x)$.

Aplicando essas derivadas na regra do quociente, temos:

O numerador simplifica para ${\sinh }^2(x)-{\cosh }^2(x)$. De acordo com a identidade ${\cosh }^2(x)-{\sinh }^2(x)=1$, sabemos que ${\sinh }^2(x)-{\cosh }^2(x)=-1$.

Assim, a expressão torna-se:

Como $\frac{1}{{\sinh }^2(x)}$ é ${\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}}^2(x)$, o resultado final é:

Q.E.D.