Prova
Começamos definindo como . Para encontrar a derivada, usamos a regra do quociente, que afirma que a derivada de um quociente é .
Seja e . A derivada de é , e a derivada de é .
Aplicando a regra do quociente:
Usando a identidade pitagórica :
Assim, a derivada de é:
Explicação
Para entender essa derivada, vamos começar reconhecendo que é definido como , que é a razão da função cosseno para a função seno. Isso significa que para qualquer ângulo , dá a razão do lado adjacente para o lado oposto em um triângulo retângulo.
Ao encontrar a derivada de , usamos a regra do quociente. Esta regra é usada ao diferenciar um quociente de duas funções. Ela afirma que se você tem uma função expressa como , a derivada é , onde e são funções de .
Aqui, escolhemos e . A derivada de com relação a é , e a derivada de é .
Aplicando a regra do quociente:
Isso simplifica para . Usando a identidade pitagórica , simplificamos o numerador para , resultando em:
Isso pode ser reescrito como , já que .
Assim, a derivada de com relação a é .
Q.E.D.