Derivada de cot(x) - Prova e Explicação

Prova

Começamos definindo cot(x) como cos(x)sin(x). Para encontrar a derivada, usamos a regra do quociente, que afirma que a derivada de um quociente uv é uvuvv2.

Seja u=cos(x) e v=sin(x). A derivada de cos(x) é sin(x), e a derivada de sin(x) é cos(x).

Aplicando a regra do quociente:

ddxcot(x)=(sin(x))·sin(x)cos(x)·cos(x)sin2(x) =sin2(x)cos2(x)sin2(x)

Usando a identidade pitagórica sin2(x)+cos2(x)=1:

=1sin2(x)=csc2(x)

Assim, a derivada de cot(x) é:

ddxcot(x)=csc2(x)

Explicação

Para entender essa derivada, vamos começar reconhecendo que cot(x) é definido como cos(x)sin(x), que é a razão da função cosseno para a função seno. Isso significa que para qualquer ângulo x, cot(x) dá a razão do lado adjacente para o lado oposto em um triângulo retângulo.

Ao encontrar a derivada de cot(x), usamos a regra do quociente. Esta regra é usada ao diferenciar um quociente de duas funções. Ela afirma que se você tem uma função expressa como uv, a derivada é uvuvv2, onde u e v são funções de x.

Aqui, escolhemos u=cos(x) e v=sin(x). A derivada de cos(x) com relação a x é sin(x), e a derivada de sin(x) é cos(x).

Aplicando a regra do quociente:

ddxcot(x)=(sin(x))·sin(x)cos(x)·cos(x)sin2(x)

Isso simplifica para sin2(x)cos2(x)sin2(x). Usando a identidade pitagórica sin2(x)+cos2(x)=1, simplificamos o numerador para 1, resultando em:

1sin2(x)

Isso pode ser reescrito como csc2(x), já que csc(x)=1sin(x).

Assim, a derivada de cot(x) com relação a x é csc2(x).

Q.E.D.