Derivada de cosh(x) - Prova e Explicação

Prova

A função cosseno hiperbólico é definida como:

\cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

Para encontrar a derivada, diferenciamos usando a regra da soma:

\frac{d}{d x} \cosh (x) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} + e^{- x}}{2})

Diferenciando cada termo:

\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} e^{x} + \frac{d}{d x} e^{- x})

= \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})

Isso simplifica para:

\sinh (x)

Assim, a derivada de $\cosh (x)$ é:

\frac{d}{d x} \cosh (x) = \sinh (x)

Explicação

A função cosseno hiperbólico, $\cosh (x)$ , é definida como $\frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ . Esta fórmula combina as funções exponenciais $e^{x}$ e $e^{- x}$ .

Para diferenciar $\cosh (x)$ , usamos regras básicas de diferenciação. A função pode ser decomposta em $\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ . Aqui, $\frac{1}{2}$ é um fator constante que podemos fatorar durante a diferenciação.

Aplicamos então a regra de diferenciação a cada parte da expressão. A derivada de $e^{x}$ é simplesmente $e^{x}$ , e a derivada de $e^{- x}$ é $- e^{- x}$ devido à regra da cadeia.

Juntando esses resultados, a derivada torna-se $\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$ . Esta expressão é a definição de $\sinh (x)$ , a função seno hiperbólico. Portanto, a derivada de cosh(x) é sinh(x).

Q.E.D.