Derivada de cos(x) - Prova e Explicação | Derivative-Calculator.org

Prova

\frac{d}{d x} \cos x & = {lim}_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) - \cos x}{h} [2ex] & = {lim}_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h} [2ex] & = {lim}_{h \to 0} \frac{\cos x (\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h} [2ex] & = \cos x {lim}_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x {lim}_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} [2ex] & = \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 [2ex] & = - \sin x

Explicação

A prova começa declarando a definição da derivada de uma função real em um ponto. Neste caso, é a derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ , que é o limite quando $h$ se aproxima de $0$ de $\frac{\cos (x + h) - \cos (x)}{h}$ .
O próximo passo usa a identidade trigonométrica para o cosseno da soma: $\cos (A + B) = \cos (A) \cos (B) - \sin (A) \sin (B)$ . Aqui, $A$ é $x$ e $B$ é $h$ . Aplicando essa identidade a $\cos (x + h)$ , obtemos: $\cos (x) \cos (h) - \sin (x) \sin (h)$ .
O numerador é então rearranjado, separando os termos que envolvem $\cos (x)$ e $\sin (x)$ . Especificamente, $\cos (x)$ é fatorado dos termos que o envolvem, e escrevemos a expressão como $\cos (x) (\cos (h) - 1) - \sin (x) \sin (h)$ . O denominador $h$ permanece inalterado.
O limite é dividido em duas partes usando a regra da soma para limites. Esta regra afirma que o limite de uma soma é igual à soma dos limites, desde que ambos os limites existam. Portanto, agora temos dois limites: um para $\frac{\cos (x) (\cos (h) - 1)}{h}$ e outro para $\frac{- \sin (x) \sin (h)}{h}$ .
Podemos avaliar cada um desses limites separadamente. O limite de $\frac{\sin (h)}{h}$ quando $h$ se aproxima de $0$ é igual a $1$ (este é um limite padrão). O limite de $\frac{\cos (h) - 1}{h}$ quando $h$ se aproxima de $0$ é igual a $0$ (este é outro limite padrão). Quando multiplicamos esses limites por $\cos (x)$ e $- \sin (x)$ respectivamente, obtemos $\cos (x) \cdot 0$ e $- \sin (x) \cdot 1$ .
Somando esses resultados conforme a regra da soma para limites, obtemos $0 - \sin (x)$ , que se simplifica para $- \sin (x)$ .

QED: Portanto, a derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .