Derivada de atanh(x) - Prova e Explicação

Prova

Começamos definindo $y=\text{atanh}(x)$, o que significa que $x=\tanh (y)$.

1. Definição e diferenciação implícita:

   $$y=\text{atanh}(x)⟹x=\tanh (y)$$

2. Derivada de $\tanh (y)$:

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}y}\tanh (y)={\text{sech}}^2(y)$$

3. Diferenciando implicitamente em relação a $x$:

   $$\frac{dx}{dy}={\text{sech}}^2(y)$$

4. Recíproco para encontrar $\frac{dy}{dx}$:

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{{\text{sech}}^2(y)}$$

5. Simplificando usando a identidade $\text{sech}(y)=\frac{1}{\cosh (y)}$:

   $${\text{sech}}^2(y)=\frac{1}{{\cosh }^2(y)}$$

   Então,

   $$\frac{dy}{dx}={\cosh }^2(y)$$

6. Expressar ${\cosh }^2(y)$ em termos de $x$: A partir da identidade ${\cosh }^2(y)-{\sinh }^2(y)=1$ e sabendo que $\tanh (y)=x$, temos $\sinh (y)=x\cosh (y)$. Assim,

   $${\cosh }^2(y)-x^2{\cosh }^2(y)=1⟹{\cosh }^2(y)(1-x^2)=1⟹{\cosh }^2(y)=\frac{1}{1-x^2}$$

Portanto,

Assim, a derivada de $\text{atanh}(x)$ é:

Explicação

Para entender a derivada de $\text{atanh}(x)$, primeiro definimos $y=\text{atanh}(x)$, o que significa que $x$ é o tangente hiperbólico de $y$. Esta relação pode ser escrita como $x=\tanh (y)$.

A função $\tanh (y)$ é uma função hiperbólica, semelhante às funções trigonométricas, mas para ângulos hiperbólicos. Sua derivada em relação a $y$ é ${\text{sech}}^2(y)$, onde $\text{sech}(y)$ é o secante hiperbólico, definido como $\frac{1}{\cosh (y)}$.

Usando diferenciação implícita, diferenciamos ambos os lados de $x=\tanh (y)$ em relação a $x$. Isso nos dá:

Para encontrar $\frac{dy}{dx}$, tomamos o recíproco de $\frac{dx}{dy}$:

Em seguida, simplificamos $\frac{1}{{\text{sech}}^2(y)}$. Como $\text{sech}(y)=\frac{1}{\cosh (y)}$, temos ${\text{sech}}^2(y)=\frac{1}{{\cosh }^2(y)}$. Portanto,

Para expressar ${\cosh }^2(y)$ em termos de $x$, usamos a identidade ${\cosh }^2(y)-{\sinh }^2(y)=1$. Sabendo que $\tanh (y)=x$, obtemos $\sinh (y)=x\cosh (y)$. Substituindo isso na identidade, obtemos:

Portanto, a derivada de $\text{atanh}(x)$ é:

Q.E.D.