Derivada de atan(x) - Prova e Explicação

Prova

Queremos encontrar a derivada de $\arctan (x)$ . Seja $y = \arctan (x)$ . Então, por definição, $x = \tan (y)$ .

Derivando ambos os lados em relação a $x$ :

\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\tan (y))

1 = \sec^{2} (y) \cdot \frac{d y}{d x}

Agora, resolvemos para $\frac{d y}{d x}$ :

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}

Usando a identidade $\sec^{2} (y) = 1 + \tan^{2} (y)$ e sabendo que $\tan (y) = x$ :

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}

Assim, a derivada de $\arctan (x)$ é:

\frac{d}{d x} \arctan (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}

Explicação

Para encontrar a derivada de $\arctan (x)$ , começamos deixando $y = \arctan (x)$ . Isso significa que $x = \tan (y)$ , representando o ângulo cuja tangente é $x$ .

Em seguida, derivamos ambos os lados da equação $x = \tan (y)$ em relação a $x$ . A derivada de $x$ em relação a $x$ é simplesmente $1$ .

No lado direito, a derivada de $\tan (y)$ em relação a $y$ é $\sec^{2} (y)$ , e pela regra da cadeia, multiplicamos por $\frac{d y}{d x}$ , o que nos dá $\sec^{2} (y) \cdot \frac{d y}{d x}$ .

Igualando as derivadas, obtemos:

1 = \sec^{2} (y) \cdot \frac{d y}{d x}

Então resolvemos para $\frac{d y}{d x}$ dividindo ambos os lados por $\sec^{2} (y)$ :

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}

Usamos a identidade trigonométrica $\sec^{2} (y) = 1 + \tan^{2} (y)$ . Como $\tan (y) = x$ (da nossa definição anterior), substituímos $x$ por $\tan (y)$ :

\sec^{2} (y) = 1 + x^{2}

Assim, a expressão para a derivada se simplifica para:

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}

Q.E.D.