Derivada de asinh(x) - Prova e Explicação

Prova

Começamos definindo $y = asinh (x)$ . Por definição, a função seno hiperbólico inversa significa:

x = \sinh (y)

onde $\sinh (y) = \frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

Para encontrar a derivada de $asinh (x)$ , primeiramente diferenciamos implicitamente $x = \sinh (y)$ com respeito a $x$ :

1 = \cosh (y) \frac{d y}{d x}

Aqui, $\cosh (y)$ é a função cosseno hiperbólico, que é definida como:

\cosh (y) = \frac{e^{y} + e^{- y}}{2}

Reorganizando para $\frac{d y}{d x}$ , obtemos:

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cosh (y)}

Agora, precisamos expressar $\cosh (y)$ em termos de $x$ . Usando a identidade $\cosh^{2} (y) - \sinh^{2} (y) = 1$ , obtemos:

\cosh^{2} (y) = 1 + \sinh^{2} (y)

Como $\sinh (y) = x$ , isso se torna:

\cosh^{2} (y) = 1 + x^{2}

Assim, $\cosh (y) = \sqrt{1 + x^{2}}$ . Substituindo isso de volta na expressão para $\frac{d y}{d x}$ , obtemos:

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

Portanto, a derivada de $asinh (x)$ é:

\frac{d}{d x} asinh (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

Explicação

Para entender esta derivada, primeiro reconhecemos que $asinh (x)$ é a função seno hiperbólico inversa, o que significa que se $y = asinh (x)$ , então $x = \sinh (y)$ . A função seno hiperbólico, $\sinh (y)$ , é definida como $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

Para encontrar a derivada de $asinh (x)$ , diferenciamos a equação $x = \sinh (y)$ implicitamente com respeito a $x$ . Diferenciando ambos os lados, obtemos $1 = \cosh (y) \frac{d y}{d x}$ , onde $\cosh (y)$ é a função cosseno hiperbólico definida como $\frac{e^{y} + e^{- y}}{2}$ .

Resolvendo para $\frac{d y}{d x}$ , temos $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cosh (y)}$ . Em seguida, precisamos expressar $\cosh (y)$ em termos de $x$ . Usando a identidade $\cosh^{2} (y) - \sinh^{2} (y) = 1$ , substituímos $\sinh (y) = x$ , obtendo $\cosh^{2} (y) = 1 + x^{2}$ . Isso significa que $\cosh (y) = \sqrt{1 + x^{2}}$ .

Substituindo $\cosh (y) = \sqrt{1 + x^{2}}$ de volta em nossa expressão para $\frac{d y}{d x}$ , encontramos $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ . Portanto, a derivada de $asinh (x)$ com respeito a $x$ é $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

Q.E.D.