Derivada de asin(x) - Prova e Explicação

Para encontrar a derivada de $\arcsin (x)$, começamos deixando:

Isso implica que:

Passo 1: Diferenciar ambos os lados

Diferenciando $\sin (y)=x$ em relação a $x$, aplicamos a diferenciação implícita:

Aqui, $\cos (y)$ é a derivada de $\sin (y)$ em relação a $y$, e $\frac{dy}{dx}$ é a derivada de $y$ em relação a $x$.

Passo 2: Resolver para $\frac{dy}{dx}$

Rearranjamos a equação para resolver a derivada:

Passo 3: Expressar $\cos (y)$ em termos de $x$

Usamos a identidade pitagórica:

Tomando a raiz quadrada:

Como $\sin (y)=x$, substituímos:

Passo 4: Derivada final

Substituindo $\cos (y)$ de volta na expressão para $\frac{dy}{dx}$:

Portanto, a derivada de $\arcsin (x)$ é:

Q.E.D.