Derivada de acosh(x) - Prova e Explicação

Prova

1. Definição de $\text{acosh}(x)$:

   $$y=\text{acosh}(x)⟹x=\cosh (y)$$

   onde $\cosh (y)=\frac{e^y+e^{-y}}{2}$.

2. Diferencie ambos os lados em relação a $x$:

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}x=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\cosh (y)$$

3. Usando a regra da cadeia no lado direito:

   $$1=\sinh (y)·\frac{dy}{dx}$$

   onde $\sinh (y)=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$.

4. Resolva para $\frac{dy}{dx}$:

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sinh (y)}$$

5. Expresse $\sinh (y)$ em termos de $x$:

   $${\cosh }^2(y)-1={\sinh }^2(y)$$

   Como $x=\cosh (y)$,

   $${\sinh }^2(y)=x^2-1⟹\sinh (y)=\sqrt{x^2-1}$$

6. Substitua de volta na derivada:

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$$

Assim, a derivada de $\text{acosh}(x)$ é:

Explicação

Para entender a derivada de $\text{acosh}(x)$, primeiro precisamos entender a própria função. A função cosseno hiperbólico inverso, $\text{acosh}(x)$, é definida como o inverso da função cosseno hiperbólico, $\cosh (y)$. Isso significa que, se $y=\text{acosh}(x)$, então $x=\cosh (y)$, onde $\cosh (y)=\frac{e^y+e^{-y}}{2}$.

Para encontrar a derivada de $\text{acosh}(x)$, começamos diferenciando ambos os lados da equação $x=\cosh (y)$ em relação a $x$. Isso nos dá:

Usando a regra da cadeia, a derivada de $\cosh (y)$ em relação a $x$ é $\sinh (y)·\frac{dy}{dx}$, onde $\sinh (y)=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$. Assim, temos:

Em seguida, resolvemos para $\frac{dy}{dx}$:

Para expressar $\sinh (y)$ em termos de $x$, usamos a identidade ${\cosh }^2(y)-1={\sinh }^2(y)$. Como $x=\cosh (y)$, substituímos $\cosh (y)$ por $x$ para obter:

Tomando a raiz quadrada, encontramos:

Finalmente, substituímos $\sinh (y)$ de volta na derivada:

Portanto, a derivada de $\text{acosh}(x)$ com relação a $x$ é $\boxed{\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}$.

Q.E.D.