Derivada de acos(x) - Prova e Explicação

Para encontrar a derivada de $\arccos (x)$, começamos definindo:

Isso significa que $y$ é o ângulo cujo cosseno é $x$. Em outras palavras, temos:

Passo 1: Diferenciar ambos os lados

Diferenciamos ambos os lados desta equação em relação a $x$. O lado esquerdo simplesmente se torna $1$. Para o lado direito, usando a regra da cadeia:

Então, a equação se torna:

Passo 2: Resolver para $\frac{dy}{dx}$

Rearranjando a equação para resolver $\frac{dy}{dx}$:

Passo 3: Expressar $\sin (y)$ em termos de $x$

Usando a identidade pitagórica:

Podemos expressar $\sin (y)$ como:

Passo 4: Substituir $\sin (y)$ de volta na derivada

Substituindo isso de volta na nossa expressão para $\frac{dy}{dx}$:

Assim, a derivada de $\arccos (x)$ é:

Q.E.D.