Derivada de abs(x) - Prova e Explicação

Prova

Começamos definindo a função valor absoluto, $\left|x\right|$, como uma função por partes:

Para encontrar a derivada, diferenciamos cada parte separadamente:

1. Para $x\ge 0$:

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x)=1$$

2. Para $x<0$:

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}(-x)=-1$$

Combinando esses resultados, obtemos:

Em $x=0$, a função $\left|x\right|$ é contínua, mas sua derivada não é definida porque o limite pela esquerda ($-1$) e o limite pela direita ($1$) não são iguais.

Outra forma de expressar a derivada de $\left|x\right|$ é usando a função $\frac{x}{\left|x\right|}$. Esta função é definida como:

Assim, a derivada de $\left|x\right|$ é:

Explicação

Para entender a derivada da função valor absoluto $\left|x\right|$, vamos detalhar passo a passo.

A função valor absoluto $\left|x\right|$ é definida de forma diferente para valores positivos e negativos de $x$. Especificamente:

Isso significa que para qualquer valor não negativo de $x$ (incluindo zero), $\left|x\right|$ é apenas $x$, e para qualquer valor negativo de $x$, $\left|x\right|$ é $-x$.

Para encontrar a derivada de $\left|x\right|$, precisamos considerar esses dois casos separadamente:

1. Quando $x\ge 0$, a função $\left|x\right|$ é igual a $x$. A derivada de $x$ com relação a $x$ é $1$.

2. Quando $x<0$, a função $\left|x\right|$ é igual a $-x$. A derivada de $-x$ com relação a $x$ é $-1$.

Juntando esses dois resultados, obtemos:

Em $x=0$, a situação é diferente. A função $\left|x\right|$ é contínua em $x=0$, mas sua derivada não é definida. Isso ocorre porque o limite pela esquerda da derivada quando $x$ se aproxima de 0 pelo lado negativo é $-1$, e o limite pela direita quando $x$ se aproxima de 0 pelo lado positivo é $1$. Como esses dois limites não são iguais, a derivada em $x=0$ não existe.

Outra forma de expressar essa derivada de forma mais compacta é usando a função $\frac{x}{\left|x\right|}$. Esta função nos dá o sinal de $x$:

Em $x=0$, essa expressão é indefinida porque não podemos dividir por zero. Portanto, a derivada de $\left|x\right|$ pode ser escrita como:

Assim, a derivada da função valor absoluto $\left|x\right|$ é $\frac{x}{\left|x\right|}$, que é $1$ para $x$ positivo, $-1$ para $x$ negativo, e indefinida em $x=0$.

Q.E.D.