tanh(x) の導関数 - 証明と説明

証明

まず、$\tanh (x)$ を $\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}$ と定義します。導関数を求めるために、商の微分法則を使用します。これは、商 $\frac{u}{v}$ の導関数が $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ であるという法則です。

ここで、$u=\sinh (x)$ 及び $v=\cosh (x)$ とします。導関数は $u^{\prime }=\cosh (x)$ 及び $v^{\prime }=\sinh (x)$ です。

商の微分法則を適用すると、次のようになります：

これを簡略化すると：

恒等式 ${\cosh }^2(x)-{\sinh }^2(x)=1$ を用いると、次のようになります：

したがって、$\tanh (x)$ の導関数は：

説明

$\tanh (x)$ の導関数を理解するために、まず $\tanh (x)$ が 双曲線正弦関数 $\sinh (x)$ と 双曲線余弦関数 $\cosh (x)$ の比として定義されることを認識しましょう。つまり、$\tanh (x)=\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}$ です。これは双曲線正接を表し、微積分や双曲線幾何学でよく使用されます。

$\tanh (x)$ の導関数を求めるために、<strong>商の微分法則</strong> を適用します。商の微分法則は、他の2つの関数の商として表される関数を微分するのに役立ちます。具体的には、関数が $\frac{u}{v}$ と与えられている場合、その導関数は $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ であり、ここで $u$ と $v$ は $x$ の微分可能な関数です。

$\tanh (x)$ の場合、$u=\sinh (x)$ 及び $v=\cosh (x)$ です。$\sinh (x)$ の導関数は $\cosh (x)$ であり、$\cosh (x)$ の導関数は $\sinh (x)$ です。

商の微分法則を適用して導関数を代入すると、次のようになります：

分子は ${\cosh }^2(x)-{\sinh }^2(x)$ に簡略化されます。双曲線恒等式によれば、${\cosh }^2(x)-{\sinh }^2(x)=1$ です。これにより、全体の式は次のように簡略化されます：

式 $\frac{1}{{\cosh }^2(x)}$ は ${\text{sech}}^2(x)$ の定義であり、これは双曲線正割関数の二乗を表します。

したがって、$\tanh (x)$ の $x$ に関する導関数は $\boxed{{\text{sech}}^2(x)}$ です。

Q.E.D.