tan(x) の導関数 - 証明と説明

証明 #1

説明

1. 証明はタンジェント関数の定義から始まります：

   $\tan x=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

2. 次に、サイン と コサイン の以前に証明された導関数を使用します：

   $\frac{d}{dx}\sin (x)=\cos (x)$ $\frac{d}{dx}\cos (x)=-\sin (x)$

3. 次に、導関数の商の法則を適用します。この法則は、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ に対して次のように述べています：

   $\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)=\frac{v(x)\frac{d}{dx}u(x)-u(x)\frac{d}{dx}v(x)}{[v(x){]}^2}$

   この場合、$u(x)=\sin (x)$ と $v(x)=\cos (x)$ です。商の法則を適用すると：

   $\frac{d}{dx}\tan (x)=\frac{\cos (x)\cos (x)-\sin (x)(-\sin (x))}{{\cos }^2(x)}$

4. 分子は標準的な三角関数の恒等式 ${\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)=1$ を用いて簡略化されます：

   $\frac{d}{dx}\tan (x)=\frac{{\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)}{{\cos }^2(x)}$

5. ステップ4の恒等式を使用して、分子は1に簡略化されます：

   $\frac{d}{dx}\tan (x)=\frac{1}{{\cos }^2(x)}$

6. この証明は $\cos (x)\ne 0$ の場合のみ有効です。ゼロでの除算は定義されていないからです。

7. 最後に、セカント はコサインの逆数であることから、結果が得られます： $\sec (x)=\frac{1}{\cos (x)}$。

したがって、$\tan (x)$ の導関数は ${\sec }^2(x)$ です。

証明 #2

説明

1. 証明は点における実関数の導関数の定義から始まります。この場合、それは $x$ に関するタンジェントの導関数であり、これは $h$ が $0$ に近づく極限として定義されます： $\frac{\tan (x+h)-\tan x}{h}$。

2. 次のステップでは、和のタンジェントに関する三角関数の恒等式を使用します： $\tan (A+B)=\frac{\tan (A)+\tan (B)}{1-\tan (A)\tan (B)}$。ここで、$A$ は $x$ であり、$B$ は $h$ です。この恒等式を $\tan (x+h)$ に適用すると、次のようになります： $\frac{\tan (x)+\tan (h)}{1-\tan (x)\tan (h)}$。

3. 分子は $\tan (x)$ を加減することによって展開されます： $\frac{\tan (x)+\tan (h)-\tan (x)+{\tan }^2(x)\tan (h)}{1-\tan (x)\tan (h)}$。

4. 分子は因数分解され、分母は $h$ を掛けられます： $\frac{\tan (h)+{\tan }^2(x)\tan (h)}{h(1-\tan (x)\tan (h))}$。

5. 極限の積の法則を適用し、極限を2つの積に分けます： ${lim}_{h\to 0}\frac{1+{\tan }^2(x)}{1-\tan (x)\tan (h)}·{lim}_{h\to 0}\frac{\tan (h)}{h}$。

6. 2つ目の極限は標準的な極限です： ${lim}_{h\to 0}\frac{\tan (h)}{h}=1$。1つ目の極限では、$\tan (0)=0$ であるため、$h\to 0$ とともに $\tan (h)\to 0$ となります。したがって、1つ目の極限は次のように評価されます： $\frac{1+{\tan }^2(x)}{1-\tan (x)\tan 0}=1+{\tan }^2(x)$。

7. 結果は三角

関数の恒等式 $1+{\tan }^2(x)={\sec }^2(x)$ を使用して簡略化されます。

8. 最後に、結果は コサイン を使用して $\sec (x)=\frac{1}{\cos (x)}$ の恒等式により表現されます。ただし、$\cos (x)\ne 0$ の場合に限ります。

したがって、$x$ に関する $\tan (x)$ の導関数は $\boxed{{\sec }^2(x)}$ または $\frac{1}{{\cos }^2(x)}$ です。ただし、$\cos (x)\ne 0$ の場合に限ります。