平方根 sqrt(x) の導関数 - 証明と説明

証明

1. $\sqrt{x}$ の定義:

   $$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

2. べき乗則 の使用:

   $$\text{もし }y=x^n,\text{ ならば }{y}^{\prime }=n{x}^{n-1}$$

   ここで $n=\frac{1}{2}$ とします：

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}{x}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}$$

3. 式を簡略化します:

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}{x}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$$

4. 平方根 を使用して書き直します:

   $$x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

したがって、$\sqrt{x}$ の導関数は：

説明

$\sqrt{x}$ の導関数を理解するために、まず $\sqrt{x}$ を $x$ のべき乗として表します。具体的には、$\sqrt{x}$ は $x^{\frac{1}{2}}$ と書くことができます。この形により、微分に対して べき乗則 を使用することができます。

べき乗則は、関数 $x^n$ がある場合、その $x$ に関する導関数は $n{x}^{n-1}$ であると述べています。ここで、私たちの指数 $n$ は $\frac{1}{2}$ です。

$x^{\frac{1}{2}}$ に べき乗則 を適用すると、次のようになります：

次に、指数 $\frac{1}{2}-1$ を簡略化します。これは $-\frac{1}{2}$ になります。したがって、導関数の式は次のようになります：

この式をより馴染みのある形にするために、平方根 表記を使用して $x^{-\frac{1}{2}}$ を書き直します。 $x^{-\frac{1}{2}}$ は $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ と同じであり、$x^{\frac{1}{2}}$ は $\sqrt{x}$ です。したがって：

この式を導関数の式に代入すると、次のようになります：

したがって、$\sqrt{x}$ の $x$ に関する導関数は $\boxed{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$ です。

Q.E.D.