sinh(x) の導関数 - 証明と説明

証明

双曲線正弦関数は次のように定義されます：

導関数を求めるために、指数関数 の導関数を使用します。 $e^x$ の導関数は $e^x$ であり、$e^{-x}$ の導関数は $-e^{-x}$ です。

今、$\sinh (x)$ を微分します：

これは次のように簡略化されます：

したがって、$\sinh (x)$ の導関数は：

説明

双曲線正弦関数 $\sinh (x)$ は、正弦関数 に似ていますが、指数関数 に基づいています。次のように定義されます：

この式は、指数関数の成長 $e^x$ と指数関数の減衰 $e^{-x}$ の差を2で割ったものを表します。

導関数を求めるために、関数の各部分を微分します。$e^x$ の $x$ に関する導関数は $e^x$ であり、$e^{-x}$ の $x$ に関する導関数は $-e^{-x}$ です。これは連鎖律によるもので、$-x$ の導関数は $-1$ だからです。

これらの導関数を $\sinh (x)$ の式に代入します：

これは次のように簡略化されます：

この式は、双曲線余弦 関数の定義と正確に一致します：

Q.E.D.