sin(x) の導関数 - 証明と説明

証明

説明

1. 証明は、ある点での実関数の導関数の定義から始まります。この場合、$x$ に関する正弦の導関数であり、$h$ が $0$ に近づくときの $\frac{\sin (x+h)-\sin (x)}{h}$ の極限です。

2. 次のステップでは、和の正弦の三角関数の恒等式を使用します：$\sin (A+B)=\sin (A)\cos (B)+\cos (A)\sin (B)$。ここで、$A$ は $x$ であり、$B$ は $h$ です。この恒等式を $\sin (x+h)$ に適用すると、$\sin (x)\cos (h)+\sin (h)\cos (x)$ となります。

3. 分子は $\sin (x)$ を含む項を集めて再配置されます。具体的には、$\sin (x)$ が $\cos (h)-1$ を含む項から外に出され、$\sin (x)(\cos (h)-1)$ と $\sin (h)\cos (x)$ に分けられます。分母の $h$ は変更されません。

4. 極限は、和の法則 を用いて二つの部分に分割されます。この法則は、両方の極限が存在する限り、和の極限は極限の和に等しいと述べています。したがって、ここでは $\frac{\sin (x)(\cos (h)-1)}{h}$ と $\frac{\sin (h)\cos (x)}{h}$ の二つの極限を持つことになります。

5. これらの極限を個別に評価できます。$h$ が $0$ に近づくときの $\frac{\sin (h)}{h}$ の極限は $1$ に等しいです（これは標準的な極限です）。$h$ が $0$ に近づくときの $\frac{\cos (h)-1}{h}$ の極限は $0$ に等しいです（これも標準的な極限です）。これらの極限をそれぞれ $\sin (x)$ と $\cos (x)$ に掛けると、$\sin (x)·0$ と $1·\cos (x)$ になります。

6. これらを和の法則 に従って加えると、$0+\cos (x)$ となり、これは $\cos (x)$ に簡略化されます。

QED: したがって、$x$ に関する $\sin (x)$ の導関数は $\boxed{\cos (x)}$ です。