log(x) の導関数 - 証明と説明

証明

$y=\ln (x)$ とします。導関数を求めるために、自然対数の定義を使用します：

1. $y=\ln (x)$ を $x=e^y$ と書き換えます。

2. 両辺を $x$ について微分します：

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}(e^y)$$

3. これにより：

   $$1=e^y\frac{dy}{dx}$$

4. $\frac{dy}{dx}$ を解くと：

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}$$

5. $e^y=x$ を代入します：

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}$$

したがって、$\ln (x)$ の導関数は：

説明

自然対数関数 $\ln (x)$ は、指数関数 $e^x$ の逆関数です。導関数を求めるには、まず $y=\ln (x)$ と設定します。これは $x$ を $e^y$ と表現できることを意味します。

両辺を $x$ について微分すると、左辺は単に $1$ になります。右辺については、連鎖律 を使用して、$e^y$ の $x$ に関する導関数は $e^y\frac{dy}{dx}$ です。

これらを等しくすると、方程式 $1=e^y\frac{dy}{dx}$ が得られます。次に $\frac{dy}{dx}$ を解きます。これは両辺を $e^y$ で割ることを含みます。これにより $\frac{1}{e^y}$ に簡略化されます。

最後に、$e^y=x$ （元の置換から）なので、これを代入して $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}$ とします。

したがって、$\ln (x)$ の導関数は $\boxed{\frac{1}{x}}$ です。

Q.E.D.