csc(x) の導関数 - 証明と説明

証明

$\csc (x)$ を $\frac{1}{\sin (x)}$ と定義します。導関数を求めるために、商の法則を使用します。これは、商 $\frac{u}{v}$ の導関数が $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ であることを示しています。

ここで、$u=1$ および $v=\sin (x)$ とします。$u$ の $x$ に関する導関数は 定数 であるため $0$ であり、$v=\sin (x)$ の導関数は $\cos (x)$ です。

商の法則を適用すると、次のようになります：

次に、$-\frac{\cos (x)}{{\sin }^2(x)}$ を簡略化します。これは $-\frac{1}{\sin (x)}·\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ と書き換えることができ、これは $-\csc (x)\cot (x)$ に簡略化されます。

したがって、$\csc (x)$ の導関数は次のようになります：

説明

この導関数を理解するために、まず $\csc (x)$ が 正弦関数 の逆数であることを認識します。これは $\csc (x)=\frac{1}{\sin (x)}$ と定義されます。つまり、任意の角度 $x$ に対して、$\csc (x)$ は直角三角形の斜辺と対辺の比を表します。

$\csc (x)$ の導関数を求める際には、商の法則を使用します。これは2つの関数の分数を扱うためです。商の法則によれば、関数 $\frac{u}{v}$ の導関数は $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ であり、ここで $u$ と $v$ は $x$ の関数です。

この場合、$u=1$ （定数関数）および $v=\sin (x)$ を選びます。定数の導関数 $(1)$ は $0$ であり、$\sin (x)$ の導関数は $\cos (x)$ です。

これらの導関数を 商の法則に適用すると、次のようになります：

これは $0·\sin (x)$ がゼロであり、$-1·\cos (x)$ が $-\cos (x)$ であるため、$-\frac{\cos (x)}{{\sin }^2(x)}$ に簡略化されます。

次に、$-\frac{\cos (x)}{{\sin }^2(x)}$ を簡略化します。これは $-\frac{1}{\sin (x)}·\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ と表現できます。ここで、$\frac{1}{\sin (x)}$ は $\csc (x)$ の定義であり、$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ は $\cot (x)$ です。したがって、この表現は $-\csc (x)\cot (x)$ に簡略化されます。

したがって、$\csc (x)$ の $x$ に関する導関数は $\boxed{-\csc (x)·\cot (x)}$ です。