coth(x) の導関数 - 証明と説明

証明

$\coth (x)$ の導関数を求めるために、その定義から始めます：

商の法則 を使用します。商 $\frac{u}{v}$ の導関数は：

ここで、$u=\cosh (x)$ 及び $v=\sinh (x)$ とします。導関数は $u^{\prime }=\sinh (x)$ 及び $v^{\prime }=\cosh (x)$ です。

商の法則 を適用すると：

分子を簡略化します：

したがって、導関数は次のようになります：

したがって、$\coth (x)$ の導関数は：

説明

$\coth (x)$ の導関数を理解するために、その定義である双曲線余割関数から始めます。これは $\coth (x)=\frac{\cosh (x)}{\sinh (x)}$ として表されます。この関数は双曲線余弦 と双曲線正弦 の比率を表します。

商の二つの関数の導関数を求めるために、商の法則 を使用します。この法則によれば、関数 $\frac{u}{v}$ の導関数は $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ です。ここで、$u$ と $v$ は $x$ の関数です。

$\coth (x)$ の場合、$u=\cosh (x)$ 及び $v=\sinh (x)$ とします。$\cosh (x)$ の導関数は $\sinh (x)$ であり、$\sinh (x)$ の導関数は $\cosh (x)$ です。

これらの導関数を商の法則 に適用すると：

分子は ${\sinh }^2(x)-{\cosh }^2(x)$ に簡略化されます。恒等式 ${\cosh }^2(x)-{\sinh }^2(x)=1$ によれば、${\sinh }^2(x)-{\cosh }^2(x)=-1$ であることが分かります。

したがって、式は次のようになります：

$\frac{1}{{\sinh }^2(x)}$ は ${\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}}^2(x)$ であるため、最終的な結果は：

Q.E.D.