cot(x) の導関数 - 証明と説明

証明

まず、$\cot (x)$ を $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ と定義します。導関数を求めるために、商の微分法を使用します。これは、商 $\frac{u}{v}$ の導関数が $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ であることを示しています。

ここで、$u=\cos (x)$ および $v=\sin (x)$ とします。$\cos (x)$ の導関数は $-\sin (x)$、$\sin (x)$ の導関数は $\cos (x)$ です。

商の微分法を適用すると：

三角関数の基本的な恒等式 ${\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)=1$ を使用して：

したがって、$\cot (x)$ の導関数は：

説明

この導関数を理解するために、まず $\cot (x)$ が $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ と定義されていることを認識しましょう。これは、余弦関数と正弦関数の比であり、任意の角度 $x$ に対して、$\cot (x)$ は直角三角形における隣辺と対辺の比を示します。

$\cot (x)$ の導関数を求める際には、商の微分法を使用します。この法則は、2つの関数の商を微分する際に用いられます。もし $\frac{u}{v}$ という形の関数がある場合、導関数は $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ となります。ここで、$u$ と $v$ は $x$ の関数です。

ここでは、$u=\cos (x)$ および $v=\sin (x)$ を選びます。$\cos (x)$ の導関数は $-\sin (x)$、$\sin (x)の導関数は\backslash (\cos (x)$ です。

商の微分法を適用すると：

これは $\frac{-{\sin }^2(x)-{\cos }^2(x)}{{\sin }^2(x)}$ に簡略化されます。三角関数の基本的な恒等式 ${\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)=1$ を使用して、分子を $-1$ に簡略化すると、次のようになります：

これは $-{\csc }^2(x)$ と書き換えることができます。なぜなら、$\csc (x)=\frac{1}{\sin (x)}$ だからです。

したがって、$\cot (x)$ の $x$ に関する導関数は $\boxed{-{\csc }^2(x)}$ です。

Q.E.D.