cosh(x) の導関数 - 証明と説明 | Derivative-Calculator.org

証明

双曲線余弦関数は次のように定義されます：

\cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

導関数を求めるために、和の法則を使用して微分します：

\frac{d}{d x} \cosh (x) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} + e^{- x}}{2})

各項を微分すると：

\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} e^{x} + \frac{d}{d x} e^{- x})

= \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})

これは次のように簡略化されます：

\sinh (x)

したがって、 $\cosh (x)$ の導関数は次のようになります：

\frac{d}{d x} \cosh (x) = \sinh (x)

双曲線余弦関数 $\cosh (x)$ は $\frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ として定義されます。この公式は、指数関数 $e^{x}$ と $e^{- x}$ を組み合わせたものです。

$\cosh (x)$ を微分するには、基本的な微分規則を使用します。この関数は $\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ に分解できます。ここで、 $\frac{1}{2}$ は定数係数であり、微分中に取り出すことができます。

次に、各部分の式に微分規則を適用します。 $e^{x}$ の導関数は単に $e^{x}$ であり、連鎖律により $e^{- x}$ の導関数は $- e^{- x}$ です。

これらの結果を合わせると、導関数は $\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$ となります。この式は $\sinh (x)$ 、すなわち双曲線正弦関数の定義です。したがって、cosh(x) の導関数は sinh(x) です。

Q.E.D.