cos(x) の導関数 - 証明と説明 | Derivative-Calculator.org

証明

\frac{d}{d x} \cos x & = {lim}_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) - \cos x}{h} [2ex] & = {lim}_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h} [2ex] & = {lim}_{h \to 0} \frac{\cos x (\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h} [2ex] & = \cos x {lim}_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x {lim}_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} [2ex] & = \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 [2ex] & = - \sin x

説明

証明は、ある点における実関数の導関数の定義から始まります。この場合、 $\cos (x)$ の $x$ に関する導関数は、 $h$ が $0$ に近づくときの $\frac{\cos (x + h) - \cos (x)}{h}$ の極限です。
次のステップでは、和の余弦に関する三角法の恒等式 $\cos (A + B) = \cos (A) \cos (B) - \sin (A) \sin (B)$ を使用します。ここで、 $A$ は $x$ 、 $B$ は $h$ です。この恒等式を $\cos (x + h)$ に適用すると、 $\cos (x) \cos (h) - \sin (x) \sin (h)$ となります。
分子は $\cos (x)$ と $\sin (x)$ に関する項を分離することによって整理されます。具体的には、 $\cos (x)$ を含む項から $\cos (x)$ をくくり出し、式を $\cos (x) (\cos (h) - 1) - \sin (x) \sin (h)$ と書き直します。分母 $h$ はそのままです。
極限は、和の法則を用いて2つの部分に分割されます。この法則は、極限の和は両方の極限が存在する限り、その和の極限に等しいことを示します。したがって、ここでは $\frac{\cos (x) (\cos (h) - 1)}{h}$ と $\frac{- \sin (x) \sin (h)}{h}$ の2つの極限を持つことになります。
これらの極限をそれぞれ別々に評価することができます。 $\frac{\sin (h)}{h}$ の $h$ が $0$ に近づくときの極限は $1$ に等しいです（これは標準的な極限です）。 $\frac{\cos (h) - 1}{h}$ の $h$ が $0$ に近づくときの極限は $0$ に等しいです（これも標準的な極限です）。これらの極限にそれぞれ $\cos (x)$ と $- \sin (x)$ を掛けると、 $\cos (x) \cdot 0$ と $- \sin (x) \cdot 1$ になります。
これらを和の法則に従って合計すると、 $0 - \sin (x)$ となり、これを簡単にすると $- \sin (x)$ になります。

QED: したがって、 $\cos (x)$ の $x$ に関する導関数は $- \sin (x)$ です。