atanh(x) の導関数 - 証明と説明

証明

まず、$y=\text{atanh}(x)$ と定義します。これは $x=\tanh (y)$ を意味します。

1. 定義と陰微分:

   $$y=\text{atanh}(x)⟹x=\tanh (y)$$

2. $\tanh (y)$ の導関数:

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}y}\tanh (y)={\text{sech}}^2(y)$$

3. $x$ に関して陰微分する:

   $$\frac{dx}{dy}={\text{sech}}^2(y)$$

4. 逆数を取って $\frac{dy}{dx}$ を求める:

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{{\text{sech}}^2(y)}$$

5. $\text{sech}(y)=\frac{1}{\cosh (y)}$ を用いて簡略化:

   $${\text{sech}}^2(y)=\frac{1}{{\cosh }^2(y)}$$

   したがって、

   $$\frac{dy}{dx}={\cosh }^2(y)$$

6. ${\cosh }^2(y)$ を $x$ に関して表す: 恒等式 ${\cosh }^2(y)-{\sinh }^2(y)=1$ と $\tanh (y)=x$ を用いると、$\sinh (y)=x\cosh (y)$ です。したがって、

   $${\cosh }^2(y)-x^2{\cosh }^2(y)=1⟹{\cosh }^2(y)(1-x^2)=1⟹{\cosh }^2(y)=\frac{1}{1-x^2}$$

したがって、

このようにして、$\text{atanh}(x)$ の導関数は：

説明

$\text{atanh}(x)$ の導関数を理解するために、まず $y=\text{atanh}(x)$ と定義し、これが $x$ が $y$ の双曲線正接であることを意味することから始めます。この関係は $x=\tanh (y)$ と書けます。

関数 $\tanh (y)$ は双曲線関数であり、三角関数と類似していますが双曲線角に対するものです。その $y$ に関する導関数は ${\text{sech}}^2(y)$ です。ここで、$\text{sech}(y)$ は双曲線正割であり、$\frac{1}{\cosh (y)}$ と定義されます。

陰微分を用いて、$x=\tanh (y)$ の両辺を $x$ に関して微分します。これにより、

を得ます。次に $\frac{dy}{dx}$ を求めるために、$\frac{dx}{dy}$ の逆数を取ります：

次に、$\frac{1}{{\text{sech}}^2(y)}$ を簡略化します。$\text{sech}(y)=\frac{1}{\cosh (y)}$ なので、${\text{sech}}^2(y)=\frac{1}{{\cosh }^2(y)}$ となります。したがって、

${\cosh }^2(y)$ を $x$ に関して表現するために、恒等式 ${\cosh }^2(y)-{\sinh }^2(y)=1$ を使用します。$\tanh (y)=x$ を知っているので、$\sinh (y)=x\cosh (y)$ です。この値を恒等式に代入すると、

となります。

したがって、$\text{atanh}(x)$ の導関数は：

Q.E.D.