atan(x) の導関数 - 証明と説明 | Derivative-Calculator.org

証明

$\arctan (x)$ の導関数を求めます。 $y = \arctan (x)$ とします。このとき、定義により $x = \tan (y)$ です。

両辺を $x$ に関して微分します：

\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\tan (y))

1 = \sec^{2} (y) \cdot \frac{d y}{d x}

次に、 $\frac{d y}{d x}$ を解きます：

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}

恒等式 $\sec^{2} (y) = 1 + \tan^{2} (y)$ を使用し、 $\tan (y) = x$ を考慮すると：

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}

したがって、 $\arctan (x)$ の導関数は：

\frac{d}{d x} \arctan (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}

$\arctan (x)$ の導関数を求めるために、まず $y = \arctan (x)$ とします。これは $x = \tan (y)$ を意味し、 $y$ は $x$ のタンジェントである角度を表します。

次に、方程式 $x = \tan (y)$ の両辺を $x$ に関して微分します。 $x$ の $x$ に関する導関数は単に $1$ です。

右辺では、 $\tan (y)$ の $y$ に関する導関数は $\sec^{2} (y)$ です。そして、連鎖律によって $\frac{d y}{d x}$ を掛けます。これにより、 $\sec^{2} (y) \cdot \frac{d y}{d x}$ となります。

導関数を等しく設定すると：

1 = \sec^{2} (y) \cdot \frac{d y}{d x}

次に、両辺を $\sec^{2} (y)$ で割って $\frac{d y}{d x}$ を解きます：

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}

三角関数の恒等式 $\sec^{2} (y) = 1 + \tan^{2} (y)$ を使用します。先ほどの定義から $\tan (y) = x$ なので、 $\tan (y)$ を $x$ に置き換えます：

\sec^{2} (y) = 1 + x^{2}

したがって、導関数の式は次のように簡略化されます：

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}

Q.E.D.