asinh(x) の導関数 - 証明と説明 | Derivative-Calculator.org

証明

まず、 $y = asinh (x)$ と定義します。定義により、逆双曲線正弦関数は次の意味を持ちます：

x = \sinh (y)

ここで、 $\sinh (y) = \frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ です。

$asinh (x)$ の導関数を求めるために、まず $x = \sinh (y)$ を $x$ に関して暗黙的に微分します：

1 = \cosh (y) \frac{d y}{d x}

ここで、 $\cosh (y)$ は双曲線余弦関数であり、次のように定義されます：

\cosh (y) = \frac{e^{y} + e^{- y}}{2}

$\frac{d y}{d x}$ を整理すると、次のようになります：

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cosh (y)}

次に、 $\cosh (y)$ を $x$ の関数として表す必要があります。恒等式 $\cosh^{2} (y) - \sinh^{2} (y) = 1$ を使用すると：

\cosh^{2} (y) = 1 + \sinh^{2} (y)

$\sinh (y) = x$ なので、次のようになります：

\cosh^{2} (y) = 1 + x^{2}

したがって、 $\cosh (y) = \sqrt{1 + x^{2}}$ です。これを $\frac{d y}{d x}$ の式に代入すると：

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

したがって、 $asinh (x)$ の導関数は次のようになります：

\frac{d}{d x} asinh (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

説明

この導関数を理解するために、まず $asinh (x)$ が逆双曲線正弦関数であることを認識します。これは、もし $y = asinh (x)$ ならば、 $x = \sinh (y)$ という意味です。双曲線正弦関数 $\sinh (y)$ は $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ と定義されます。

$asinh (x)$ の導関数を求めるために、方程式 $x = \sinh (y)$ を $x$ に関して暗黙的に微分します。両辺を微分すると、 $1 = \cosh (y) \frac{d y}{d x}$ となり、ここで $\cosh (y)$ は双曲線余弦関数であり、 $\frac{e^{y} + e^{- y}}{2}$ と定義されます。

$\frac{d y}{d x}$ を求めると、 $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cosh (y)}$ となります。次に、 $\cosh (y)$ を $x$ の関数として表す必要があります。恒等式 $\cosh^{2} (y) - \sinh^{2} (y) = 1$ を使用して、 $\sinh (y) = x$ を代入すると、 $\cosh^{2} (y) = 1 + x^{2}$ となります。これは $\cosh (y) = \sqrt{1 + x^{2}}$ という意味です。

$\cosh (y) = \sqrt{1 + x^{2}}$ を $\frac{d y}{d x}$ の式に代入すると、 $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ となります。したがって、 $asinh (x)$ の $x$ に関する導関数は $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ です。

Q.E.D.