asin(x) の導関数 - 証明と説明

$\arcsin (x)$ の導関数を求めるために、まず次のようにします：

これは次を意味します：

ステップ1: 両辺を微分する

$\sin (y)=x$ を $x$ について微分するために、暗黙の微分を適用します：

ここで、$\cos (y)$ は $\sin (y)$ を $y$ について微分したものであり、$\frac{dy}{dx}$ は $y$ を $x$ について微分したものです。

ステップ2: $\frac{dy}{dx}$ を解く

方程式を整理して導関数を求めます：

ステップ3: $\cos (y)$ を $x$ の関数で表す

ピタゴラスの恒等式を使用します：

平方根を取ります：

$\sin (y)=x$ なので、これを代入します：

ステップ4: 最終的な導関数

$\cos (y)$ を $\frac{dy}{dx}$ の式に戻し入れます：

したがって、$\arcsin (x)$ の導関数は：

Q.E.D.