acosh(x) の導関数 - 証明と説明

証明

1. $\text{acosh}(x)$ の定義：

   $$y=\text{acosh}(x)⟹x=\cosh (y)$$

   ここで $\cosh (y)=\frac{e^y+e^{-y}}{2}$ です。

2. 両辺を $x$ について微分する：

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}x=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\cosh (y)$$

3. 右辺に連鎖律 を適用する：

   $$1=\sinh (y)·\frac{dy}{dx}$$

   ここで $\sinh (y)=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$ です。

4. $\frac{dy}{dx}$ を解く：

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sinh (y)}$$

5. $\sinh (y)$ を $x$ の関数として表す：

   $${\cosh }^2(y)-1={\sinh }^2(y)$$

   $x=\cosh (y)$ なので、

   $${\sinh }^2(y)=x^2-1⟹\sinh (y)=\sqrt{x^2-1}$$

6. 導関数に代入する：

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$$

したがって、$\text{acosh}(x)$ の導関数は：

説明

$\text{acosh}(x)$ の導関数を理解するためには、まずその関数自体を理解する必要があります。逆双曲線余弦関数である $\text{acosh}(x)$ は、双曲線余弦関数 $\cosh (y)$ の逆関数として定義されます。つまり、$y=\text{acosh}(x)$ のとき、$x=\cosh (y)$ となり、ここで $\cosh (y)=\frac{e^y+e^{-y}}{2}$ です。

$\text{acosh}(x)$ の導関数を求めるために、方程式 $x=\cosh (y)$ の両辺を $x$ について微分します。これにより次の式が得られます：

連鎖律 を用いると、$\cosh (y)$ の $x$ に関する導関数は $\sinh (y)·\frac{dy}{dx}$ であり、ここで $\sinh (y)=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$ です。したがって：

次に、$\frac{dy}{dx}$ を解きます：

$\sinh (y)$ を $x$ の関数として表すために、恒等式 ${\cosh }^2(y)-1={\sinh }^2(y)$ を使用します。$x=\cosh (y)$ なので、$\cosh (y)$ を $x$ に置き換えると：

平方根 を取ると：

最後に、$\sinh (y)$ を導関数に代入します：

したがって、$x$ に関する $\text{acosh}(x)$ の導関数は $\boxed{\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}$ です。

Q.E.D.