acos(x) の導関数 - 証明と説明

$\arccos (x)$ の導関数を求めるために、次のように設定します：

これは、$y$ が余弦が $x$ である角度であることを意味します。つまり、次のようになります：

ステップ 1: 両辺を微分する

この方程式の両辺を $x$ について微分します。左辺は単に $1$ になります。右辺については、連鎖律 を使用して：

したがって、方程式は次のようになります：

ステップ 2: $\frac{dy}{dx}$ を解く

この方程式を $\frac{dy}{dx}$ について解きます：

ステップ 3: $\sin (y)$ を $x$ の関数として表現する

ピタゴラスの恒等式を使用します：

これを使って $\sin (y)$ を次のように表現できます：

ステップ 4: $\sin (y)$ を導関数に代入する

これを $\frac{dy}{dx}$ の式に代入します：

したがって、$\arccos (x)$ の導関数は次のようになります：

Q.E.D.