abs(x) の導関数 - 証明と説明

証明

絶対値関数 |x| を次のような区分関数として定義します:

|x|={xif x0xif x<0

導関数を求めるために、それぞれの部分を個別に微分します:

  1. x0 の場合:

    ddx(x)=1
  2. x<0 の場合:

    ddx(x)=1

これらの結果を組み合わせると、次のようになります:

ddx|x|={1if x>01if x<0

x=0 では、関数 |x| は連続ですが、導関数は定義されていません。これは左側極限(1)と右側極限(1)が等しくないためです。

別の表現として、導関数を関数 x|x| を用いて表すことができます。この関数は次のように定義されます:

x|x|={1if x>01if x<0undefinedif x=0

したがって、絶対値関数 |x| の導関数は:

ddx|x|=x|x|

説明

絶対値関数 |x| の導関数を理解するために、一歩ずつ説明します。

絶対値関数 |x| は、x の正負に応じて異なる定義を持ちます。具体的には:

|x|={xif x0xif x<0

これは、x の非負の値(0を含む)に対して |x| は単に x であり、負の値に対しては |x|x であることを意味します。

絶対値関数 |x| の導関数を求めるには、これらの2つの場合を別々に考慮する必要があります:

  1. x0 の場合、関数 |x|x に等しいです。x の導関数は 1 です。

  2. x<0 の場合、関数 |x|x に等しいです。x の導関数は 1 です。

これらの結果を合わせると、次のようになります:

ddx|x|={1if x>01if x<0

x=0 では状況が異なります。関数 |x|x=0 で連続していますが、その導関数は定義されていません。これは、x が負の側から0に近づくときの導関数の左側極限が 1 であり、正の側から0に近づくときの右側極限が 1 であるためです。これらの2つの極限が等しくないため、x=0 での導関数は存在しません。

この導関数をよりコンパクトに表現する別の方法は、関数 x|x| を用いることです。この関数は x の符号を示します:

x|x|={1if x>01if x<0

x=0 では、この表現は未定義です。ゼロで割ることはできないからです。したがって、絶対値関数 |x| の導関数は:

ddx|x|=x|x|

したがって、絶対値関数 |x| の導関数は x|x| であり、正の x に対しては 1、負の x に対しては 1、そして x=0 では未定義です。

Q.E.D.