abs(x) の導関数 - 証明と説明

証明

絶対値関数 $\left|x\right|$ を次のような区分関数として定義します：

導関数を求めるために、それぞれの部分を個別に微分します：

1. $x\ge 0$ の場合：

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x)=1$$

2. $x<0$ の場合：

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}(-x)=-1$$

これらの結果を組み合わせると、次のようになります：

$x=0$ では、関数 $\left|x\right|$ は連続ですが、導関数は定義されていません。これは左側極限（$-1$）と右側極限（$1$）が等しくないためです。

別の表現として、導関数を関数 $\frac{x}{\left|x\right|}$ を用いて表すことができます。この関数は次のように定義されます：

したがって、絶対値関数 $\left|x\right|$ の導関数は：

説明

絶対値関数 $\left|x\right|$ の導関数を理解するために、一歩ずつ説明します。

絶対値関数 $\left|x\right|$ は、$x$ の正負に応じて異なる定義を持ちます。具体的には：

これは、$x$ の非負の値（0を含む）に対して $\left|x\right|$ は単に $x$ であり、負の値に対しては $\left|x\right|$ は $-x$ であることを意味します。

絶対値関数 $\left|x\right|$ の導関数を求めるには、これらの2つの場合を別々に考慮する必要があります：

1. $x\ge 0$ の場合、関数 $\left|x\right|$ は $x$ に等しいです。$x$ の導関数は $1$ です。

2. $x<0$ の場合、関数 $\left|x\right|$ は $-x$ に等しいです。$-x$ の導関数は $-1$ です。

これらの結果を合わせると、次のようになります：

$x=0$ では状況が異なります。関数 $\left|x\right|$ は $x=0$ で連続していますが、その導関数は定義されていません。これは、$x$ が負の側から0に近づくときの導関数の左側極限が $-1$ であり、正の側から0に近づくときの右側極限が $1$ であるためです。これらの2つの極限が等しくないため、$x=0$ での導関数は存在しません。

この導関数をよりコンパクトに表現する別の方法は、関数 $\frac{x}{\left|x\right|}$ を用いることです。この関数は $x$ の符号を示します：

$x=0$ では、この表現は未定義です。ゼロで割ることはできないからです。したがって、絶対値関数 $\left|x\right|$ の導関数は：

したがって、絶対値関数 $\left|x\right|$ の導関数は $\frac{x}{\left|x\right|}$ であり、正の $x$ に対しては $1$、負の $x$ に対しては $-1$、そして $x=0$ では未定義です。

Q.E.D.