導関数を求めるための和の法則ステップバイステップの例付き

和の法則（加法の法則とも呼ばれます）は、二つ以上の関数の和の導関数を求めるための基本的な原則です。この法則は、そのような関数を微分するプロセスを簡略化し、最適化問題、物理学、工学など、微積分のさまざまな応用で広く使用されています。

和の法則の公式と正式な定義

和の法則の微分公式は次のとおりです：

\frac{d}{d x} (f (x) + g (x)) = \frac{d}{d x} f (x) + \frac{d}{d x} g (x)

定義： 微分可能な関数 $f (x)$ と $g (x)$ に対して、これらの関数の和の導関数は次のように与えられます：

\frac{d}{d x} (f (x) + g (x)) = \frac{d}{d x} f (x) + \frac{d}{d x} g (x)

ここで、 $\frac{d}{d x} f (x)$ は $f (x)$ の導関数であり、 $\frac{d}{d x} g (x)$ は $g (x)$ の導関数です。

和の法則は、任意の有限個の微分可能な関数の和にも拡張できます：

\frac{d}{d x} (f_{1} (x) + f_{2} (x) + \dots + f_{n} (x)) = \frac{d}{d x} f_{1} (x) + \frac{d}{d x} f_{2} (x) + \dots + \frac{d}{d x} f_{n} (x)

関数 $h (x) = x^{3} + \sin (x)$ を考えてみましょう。

和の中の関数は $f (x) = x^{3}$ と $g (x) = \sin (x)$ です。
$x^{3}$ の導関数は $3 x^{2}$ （べき乗法則を使用）、 $\sin (x)$ の導関数は $\cos (x)$ です。
導関数を加えると：
$h^{'} (x) = \frac{d}{d x} (x^{3} + \sin (x)) = \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} \sin (x) = 3 x^{2} + \cos (x)$
結果はすでに簡略化されているので：
$h^{'} (x) = 3 x^{2} + \cos (x)$

したがって、 $h (x) = x^{3} + \sin (x)$ の導関数は $h^{'} (x) = 3 x^{2} + \cos (x)$ です。

微分に関する和の法則を証明するために、導関数の定義（すなわち、微分の第一原理）と極限の性質を使用します。 $h (x) = f (x) + g (x)$ とし、 $f (x)$ と $g (x)$ は微分可能な関数とします。

証明：

\begin{matrix} h^{'} (x) & = \frac{d}{d x} (f (x) + g (x)) \\ [4ex] & = {lim}_{h \to 0} \frac{(f (x + h) + g (x + h)) - (f (x) + g (x))}{h} \\ [4ex] & = {lim}_{h \to 0} [\frac{f (x + h) - f (x)}{h} + \frac{g (x + h) - g (x)}{h}] \\ [4ex] & = {lim}_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} + {lim}_{h \to 0} \frac{g (x + h) - g (x)}{h} \\ [4ex] & = f^{'} (x) + g^{'} (x) \end{matrix}

したがって、 $\frac{d}{d x} (f (x) + g (x)) = \frac{d}{d x} f (x) + \frac{d}{d x} g (x)$ が証明されました。

$h (x)$ の定義から始めます： $h (x)$ は $f (x)$ と $g (x)$ の和として定義されます：
$h (x) = f (x) + g (x)$
導関数の定義： $h (x)$ の $x$ に関する導関数は次のように与えられます：
$h^{'} (x) = \frac{d}{d x} (f (x) + g (x))$
導関数の極限定義を適用する： 極限定義を使用して、導関数は次のように書けます：
$h^{'} (x) = {lim}_{h \to 0} \frac{(f (x + h) + g (x + h)) - (f (x) + g (x))}{h}$
分子内の項を分配する： 極限内の式を書き換えて項を分配します：
$h^{'} (x) = {lim}_{h \to 0} \frac{(f (x + h) + g (x + h)) - f (x) - g (x)}{h}$
分数を分ける： 分数を二つの別々の分数に分けます：
$h^{'} (x) = {lim}_{h \to 0} [\frac{f (x + h) - f (x)}{h} + \frac{g (x + h) - g (x)}{h}]$
和の極限の性質を使用する： 和の極限の性質を適用して：
$h^{'} (x) = {lim}_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} + {lim}_{h \to 0} \frac{g (x + h) - g (x)}{h}$
個々の導関数を認識する： 極限内の各項は、それぞれの関数の導関数を表しています：
$h^{'} (x) = f^{'} (x) + g^{'} (x)$

したがって、次のことが証明されました：

\frac{d}{d x} (f (x) + g (x)) = \frac{d}{d x} f (x) + \frac{d}{d x} g (x)