指数関数の導関数をステップバイステップの例で解説

指数関数とは、 $f (x) = a^{x}$ の形をした関数であり、ここで $a$ は1ではない正の定数、 $x$ は変数です。指数関数の導関数は、その変数に対する関数の変化率を表します。

公式と正式な定義

$a > 0$ かつ $a \neq 1$ の場合、 $f (x) = a^{x}$ という指数関数の導関数は次のように表されます：

f^{'} (x) = a^{x} \ln (a)

$a > 0$ かつ $a \neq 1$ の場合、指数関数 $f (x) = a^{x}$ の $x$ に関する導関数は：

\frac{d}{d x} (a^{x}) = a^{x} \ln (a)

ここで、 $\ln (a)$ は $a$ の自然対数です。

指数関数 $e^{x}$ の導関数

指数関数の特別な場合として、 $f (x) = e^{x}$ があります。ここで、 $e$ はオイラー数（約2.71828）です。 $e^{x}$ の導関数は特に簡単です：

f^{'} (x) = e^{x}

これは $\ln (e) = 1$ であるため、次のようになります：

\frac{d}{d x} (e^{x}) = e^{x} \ln (e) = e^{x} \cdot 1 = e^{x}

指数関数 $e^{x}$ の特異な性質

指数関数 $f (x) = e^{x}$ は、自身がその導関数であるという特異な性質を持っています。これは、 $e^{x}$ の変化率がその関数自体に等しいことを意味します。言い換えれば、任意の点での $e^{x}$ のグラフに対する接線の傾きは、その点での $e^{x}$ の値に等しいのです。

この性質は指数関数 $e^{x}$ を非常に特別なものにします。実際、この性質は微積分とその応用において非常に重要です。この性質を持つ唯一の関数（定数倍を除く）は $e^{x}$ だけです。指数関数 $e^{x}$ は、人口増加、放射性崩壊、複利計算などの自然現象の多くの数学的モデルに現れます。その理由は、変化率がその時点の値に正比例するからです。

$e^{x}$ の特異な性質は、指数関数の定義と対数の性質から導き出すことができます。 $a > 0$ かつ $a \neq 1$ の場合、関数 $f (x) = a^{x}$ を考えます。 $a = e^{\ln (a)}$ と設定すると、関数は次のように書き換えられます：

f (x) = (e^{\ln (a)})^{x} = e^{x \ln (a)}

連鎖律を使用して、この関数の導関数を求めることができます：

f^{'} (x) = e^{x \ln (a)} \cdot \ln (a)

$a = e$ と設定すると、 $\ln (a) = \ln (e) = 1$ となり、次のようになります：

f^{'} (x) = e^{x \ln (e)} \cdot \ln (e) = e^{x} \cdot 1 = e^{x}

したがって、指数関数 $f (x) = e^{x}$ は、その導関数が自身である唯一の指数関数（定数倍を除く）です。

指数関数の導関数の証明

指数関数 $f (x) = a^{x}$ の導関数を証明するために、導関数の定義を使用します：

f^{'} (x) = {lim}_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

ステップ1：導関数の定義に $f (x) = a^{x}$ を代入します。

f^{'} (x) = {lim}_{h \to 0} \frac{a^{x + h} - a^{x}}{h}

ステップ2： $a^{x + h}$ を $a^{x} \cdot a^{h}$ と書き換えます。

f^{'} (x) = {lim}_{h \to 0} \frac{a^{x} \cdot a^{h} - a^{x}}{h}

ステップ3： $a^{x}$ をくくり出します。

f^{'} (x) = a^{x} {lim}_{h \to 0} \frac{a^{h} - 1}{h}

ステップ4： ${lim}_{h \to 0} \frac{a^{h} - 1}{h} = \ln (a)$ を認識します。

f^{'} (x) = a^{x} \ln (a)

したがって、指数関数 $f (x) = a^{x}$ の導関数が $f^{'} (x) = a^{x} \ln (a)$ であることが証明されました。この証明は、指数関数と対数の性質、および導関数の定義に依拠しています。

指数関数の導関数のグラフ

指数関数 $f (x) = a^{x}$ のグラフは、 $a$ の値に依存します：

$a > 1$ の場合、関数は増加し、グラフは急速に成長します。
$0 < a < 1$ の場合、関数は減少し、グラフは $x$ が増加するにつれて x 軸に近づきます。

指数関数 $f^{'} (x) = a^{x} \ln (a)$ の導関数のグラフは、元の関数と似ていますが、 $\ln (a)$ の係数でスケールされています：

$a > 1$ の場合、 $\ln (a) > 0$ なので、導関数は正であり、グラフは増加します。
$0 < a < 1$ の場合、 $\ln (a) < 0$ なので、導関数は負であり、グラフは減少します。

以下は、いくつかの指数関数とその導関数の例です：

青色で $5^{x}$
オレンジ色で $2^{x}$
緑色で ${(\frac{1}{2})}^{x}$

これらのグラフは、指数関数とその導関数の関係を示しており、実線は元の関数を、破線はその導関数を表しています。指数関数の導関数は元の関数に比例し、その比例定数は $\ln (a)$ です。 $0 < a < 1$ の場合、関数 $a^{x}$ は $x$ が増加するにつれて減少し、その導関数も減少します。これは $\ln (a)$ が負であるためです。結果として、関数とその導関数はどちらも減少関数になります。逆に、 $a > 1$ の場合、

関数 $a^{x}$ は指数関数的に増加し、その導関数も $\ln (a)$ でスケールされて正であり、増加します。

すべての指数関数のもう一つの特性は、 $a^{0} = 1$ であるため、グラフが点 (0, 1) を通ることです。

指数関数の導関数の応用

指数関数の導関数は、さまざまな分野で多くの応用があります：

人口増加： 指数関数は人口の増加をモデル化でき、その導関数は時間に対する人口の変化率を表します。
放射性崩壊： 放射性物質の崩壊は指数法則に従い、その導関数は任意の時点での崩壊率を示します。
複利計算： 複利計算による投資の成長は指数関数でモデル化でき、その導関数は投資価値の瞬時の変化率を表します。
冷却と加熱： ニュートンの冷却法則は、物体の温度変化率がその温度と周囲温度の差に比例することを述べており、指数関数とその導関数が現れます。
化学反応： 多くの化学反応の速度は指数関数で記述され、その導関数は反応物または生成物の濃度の瞬時の変化率を示します。

例

$f (x) = 3^{x} + 3^{x^{2}}$ の導関数を求めます。
和の法則と連鎖律を使用して、次のようになります：
$f^{'} (x) = 3^{x} \ln (3) + 3^{x^{2}} \cdot 2 x \ln (3)$
$f (x) = \frac{e^{x}}{1 + x}$ の導関数を求めます。
商の法則を使用して、次のようになります：
$f^{'} (x) = \frac{e^{x} (1 + x) - e^{x}}{(1 + x)^{2}} = \frac{x e^{x}}{(1 + x)^{2}}$
ある都市の人口は $P (t) = 50000 \cdot {1.03}^{t}$ という関数に従って指数関数的に増加しており、ここで $t$ は2000年からの年数です。2050年の人口増加率を求めます。
まず、 $P (t)$ の導関数を求めます：
$P^{'} (t) = 50000 \cdot {1.03}^{t} \ln (1.03)$
次に、2050年の増加率を $P^{'} (50)$ を評価して計算します：
$P^{'} (20) = 50000 \cdot {1.03}^{50} \ln (1.03) \approx 6479 人/年$

指数関数の導関数