積の法則による導関数の求め方 - ステップバイステップの例付き

積という用語を使用するとき、それは実際には2つの関数が掛け合わされていることを指します。積の法則は、2つ以上の微分可能な関数の積の導関数を求めるための微分のルールの1つです。このルールは、微分の前に掛け算を避けたい場合や、できない場合に非常に役立ちます。

言い換えれば、積の法則は、冪乗の法則や和と差の法則に関する知識を組み合わせることで、掛け合わされた2つの微分可能な関数の導関数を求めることを可能にします。

積の法則の公式と正式な定義

2つの関数に対する積の法則の公式は次のとおりです：

\frac{d}{d x} (f (x) g (x)) = f (x) \cdot \frac{d}{d x} g (x) + g (x) \cdot \frac{d}{d x} f (x)

2つの微分可能な関数 $f (x)$ と $g (x)$ に対して、その積の $x$ に関する導関数は次のように与えられます：

\frac{d}{d x} (f (x) g (x)) = f (x) \cdot \frac{d}{d x} g (x) + g (x) \cdot \frac{d}{d x} f (x)

ここで、 $\frac{d}{d x} f (x)$ は $f (x)$ の導関数、 $\frac{d}{d x} g (x)$ は $g (x)$ の導関数です。

簡単に言うと、積の導関数は、最初の関数に2番目の関数の導関数を掛けたものに、2番目の関数に最初の関数の導関数を掛けたものを加えたものに等しいというルールです。

積の法則の適用手順

掛け合わされている2つの関数 $f (x)$ と $g (x)$ を特定します。
最初の関数 $f (x)$ の導関数 $\frac{d}{d x} f (x)$ を求めます。
2番目の関数 $g (x)$ の導関数 $\frac{d}{d x} g (x)$ を求めます。
最初の関数 $f (x)$ に2番目の関数の導関数 $\frac{d}{d x} g (x)$ を掛けます。
2番目の関数 $g (x)$ に最初の関数の導関数 $\frac{d}{d x} f (x)$ を掛けます。
ステップ4と5の結果を加えて、積の導関数を得ます。

積の法則のよくある間違い

積の導関数は、積の導関数が導関数の積に等しくないことに注意することが重要です。言い換えれば：

\frac{d}{d x} (f (x) g (x)) \neq \frac{d}{d x} f (x) \cdot \frac{d}{d x} g (x)

これは、積の法則を最初に学ぶときに学生がよく混同する点です。この間違いを避けるためには、各関数を他の関数の導関数に掛け、それら2つの結果を合計することを常に忘れないでください。

例

例1: 二項関数

積の法則を使って次の関数の導関数を求めましょう：

h (x) = (3 x^{2} + 2) (4 x - 1)

色分けを使用して、より分かりやすくします：

$f (x) = 3 x^{2} + 2$ (青)
$g (x) = 4 x - 1$ (赤)

積の法則を適用すると：

\begin{matrix} \frac{d}{d x} h (x) & = (3 x^{2} + 2) \cdot \frac{d}{d x} (4 x - 1) + (4 x - 1) \cdot \frac{d}{d x} (3 x^{2} + 2) & = (3 x^{2} + 2) \cdot 4 + (4 x - 1) \cdot 6 x & = 12 x^{2} + 8 + 24 x^{2} - 6 x & = 36 x^{2} - 6 x + 8 \end{matrix}

例2: 瞬間変化率

$h (x) = (2 x^{3} + 1) (5 x - 3)$ の導関数を $x = 1$ のときに求めてみましょう。

まず、積の法則を使って導関数を求めます：

\begin{matrix} \frac{d}{d x} h (x) & = (2 x^{3} + 1) \cdot \frac{d}{d x} (5 x - 3) + (5 x - 3) \cdot \frac{d}{d x} (2 x^{3} + 1) \\ = (2 x^{3} + 1) \cdot 5 + (5 x - 3) \cdot 6 x^{2} \\ = 10 x^{3} + 5 + 30 x^{3} - 18 x^{2} \\ = 40 x^{3} - 18 x^{2} + 5 \end{matrix}

次に、 $x = 1$ のときの導関数の値を求めます：

\begin{matrix} \frac{d}{d x} h (1) & = 40 (1)^{3} - 18 (1)^{2} + 5 \\ = 40 - 18 + 5 \\ = 27 \end{matrix}

したがって、 $x = 1$ における $h (x)$ の瞬間変化率は27です。

例3: 三角関数

積の法則を使って $f (x) = \sin (x) \cdot \cos (x)$ の導関数を求めましょう。

\begin{matrix} \frac{d}{d x} f (x) & = \sin (x) \cdot \frac{d}{d x} \cos (x) + \cos (x) \cdot \frac{d}{d x} \sin (x) \\ = \sin (x) \cdot (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot \cos (x) \\ = - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \end{matrix}

三角関数の導関数については別のレッスンで取り上げますが、この例が積の法則がどれほど有用かを示すのに役立つことを願っています。

例4: 2つ以上の関数

積の法則は、2つ以上の関数の積の導関数を求めるためにも拡張できます。3つの関数の場合、公式は次のようになります：

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (f (x) g (x) h (x)) & = f (x) g (x) \cdot \frac{d}{d x} h (x) + f (x) h (x) \cdot \frac{d}{d x} g (x) + g (x) h (x) \cdot \frac{d}{d x} f (x) \end{matrix}

このパターンは、任意の数の関数の積の導関数を求めるために拡張できます。たとえば、 $f (x) = (x^{2} + 1) (2 x - 3) (3 x + 4)$ の導関数を求めてみましょう。

拡張された積の法則を使用すると：

$\begin{matrix} \frac{d}{d x} f (x) & = (x < / p > < p >^{2} + 1) (2 x - 3) \cdot \frac{d}{d x} (3 x + 4) + (x^{2} + 1) (3 x + 4) \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 3) + (2 x - 3) (3 x + 4) \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \ & = (x^{2} + 1) (2 x - 3) \cdot 3 + (x^{2} + 1) (3 x + 4) \cdot 2 + (2 x - 3) (3 x + 4) \cdot 2 x \ & = 3 (x^{2} + 1) (2 x - 3) + 2 (x^{2} + 1) (3 x + 4) + 2 x (2 x - 3) (3 x + 4) \end{matrix}$

結果は項を展開し、同類項をまとめることでさらに簡略化できます。