導関数を求めるための連鎖律 - ステップバイステップの例とともに

連鎖律は、合成関数の導関数を求めるための微分法則です。合成関数とは、2つ以上の関数の合成として書くことができる関数、例えば $f (g (x))$ です。連鎖律を使用すると、合成関数の導関数を内関数および外関数の導関数に分解することができます。

連鎖律の公式

$f$ と $g$ が共に微分可能な関数であり、 $h (x) = f (g (x))$ とした場合、 $h$ の導関数は次のように与えられます：

h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

言い換えると、 $h (x)$ の導関数を求めるには：

これは次のように直感的に理解できます：

合成関数とは、2つ以上の関数を組み合わせて形成される関数であり、ある関数の出力が次の関数の入力となるものです。 $f$ と $g$ が2つの関数である場合、合成関数 $h (x) = f (g (x))$ は、 $g$ の出力に $f$ を適用して得られる関数です。

$f (g (x))$ の表記において：

合成関数 $h (x)$ は、まず内関数 $g (x)$ を評価し、その後 $g (x)$ の値に対して外関数 $f$ を評価することで求められます。

$f (x) = x^{2}$ と $g (x) = 3 x + 1$ とします。このとき、合成関数 $h (x) = f (g (x))$ は次のようになります：

$h (x) = f (g (x)) = (3 x + 1)^{2} = 9 x^{2} + 6 x + 1$

ここでは、まず $g (x) = 3 x + 1$ を評価し、その結果を2乗して $h (x)$ を求めます。

合成関数はさらに複雑になることがあります。例えば、 $\sin (\ln (x^{2} + 1))$ は次のような合成関数です：

この場合、導関数を計算するために連鎖律を何度も適用する必要があります。

連鎖律は、合成関数の形式 $f (g (x))$ を微分する場合に使用されます。合成関数が外関数 $f$ を内関数 $g$ に適用したものである場合、つまり $h (x) = f (g (x))$ である場合、連鎖律が適用されます。

連鎖律が適用される一般的な例には次のものが含まれます：

理解を深めるために、いくつかの例を見てみましょう。

$h (x) = (3 x^{2} + 1)^{5}$ の導関数を求める

$h$ を合成関数として書き換えることができます： $f (g (x))$ ここで $f (x) = x^{5}$ 、 $g (x) = 3 x^{2} + 1$

連鎖律を適用します：

$h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

$f^{'} (x) = 5 x^{4}$ なので、 $f^{'} (g (x)) = 5 (3 x^{2} + 1)^{4}$

$g^{'} (x) = 6 x$

したがって、 $h^{'} (x) = 5 (3 x^{2} + 1)^{4} \cdot 6 x = 30 x (3 x^{2} + 1)^{4}$

$h (x) = \sin (\ln (x))$ の導関数を求める

合成関数として書き換えます： $f (x) = \sin (x)$ 、 $g (x) = \ln (x)$

連鎖律を適用します：

$h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

$f^{'} (x) = \cos (x)$ なので、 $f^{'} (g (x)) = \cos (\ln (x))$

$g^{'} (x) = \frac{1}{x}$

したがって、 $h^{'} (x) = \cos (\ln (x)) \cdot \frac{1}{x} = \frac{\cos (\ln (x))}{x}$