
La Regola della somma, nota anche come Regola dell’addizione, è un principio fondamentale nella differenziazione utilizzato per trovare la derivata di una somma di due o più funzioni. Questa regola semplifica il processo di differenziazione di tali funzioni ed è ampiamente utilizzata in varie applicazioni del calcolo, inclusi problemi di ottimizzazione, fisica e ingegneria.
Formula della Regola della somma e Definizione formale
La formula della Regola della somma per la differenziazione è la seguente:
Definizione: Per funzioni derivabili e , la derivata della somma di queste funzioni rispetto a è data da:
dove è la derivata di e è la derivata di .
La Regola della somma può essere estesa alla somma di un qualsiasi numero finito di funzioni derivabili:
Passi per applicare la Regola della somma
- Identificare le funzioni: Determinare le singole funzioni , , o qualsiasi altra funzione nella somma data.
- Trovare le derivate di ciascuna funzione: Derivare ciascuna funzione nella somma rispetto alla sua variabile utilizzando le appropriate regole di derivazione.
- Somma delle derivate: Sommare le derivate delle singole funzioni ottenute nel passo 2.
- Semplificare il risultato: Se necessario, semplificare l’espressione finale ottenuta dal passo 3.
Esempio: Applicazione della Regola della somma
Consideriamo la funzione .
Le funzioni nella somma sono e .
La derivata di è (usando la Regola del potere), e la derivata di è .
Sommando le derivate:
Il risultato è già semplificato, quindi abbiamo:
Quindi, la derivata di è .
Dimostrazione della Regola della somma
Per dimostrare la Regola della somma per la differenziazione, useremo la definizione della derivata (cioè il primo principio della differenziazione) e le proprietà dei limiti. Sia , dove e sono funzioni derivabili.
Dimostrazione:
Quindi, abbiamo dimostrato che .
Spiegazione dettagliata dei passi della dimostrazione
Iniziare con la definizione di : è definito come la somma di e :
Definizione della derivata: La derivata di rispetto a è data da:
Applicare la definizione di limite della derivata: Usando la definizione di limite, la derivata può essere scritta come:
Distribuire i termini nel numeratore: Riscrivere l’espressione all’interno del limite distribuendo i termini:
Separare le frazioni: Dividere la frazione in due frazioni separate:
Utilizzare la proprietà della somma dei limiti: Applicare la proprietà che il limite di una somma è la somma dei limiti:
Riconoscere le singole derivate: Ogni termine all’interno dei limiti rappresenta la derivata delle rispettive funzioni:
Quindi, abbiamo dimostrato che: