Regola della somma per trovare le derivate

La Regola della somma, nota anche come Regola dell’addizione, è un principio fondamentale nella differenziazione utilizzato per trovare la derivata di una somma di due o più funzioni. Questa regola semplifica il processo di differenziazione di tali funzioni ed è ampiamente utilizzata in varie applicazioni del calcolo, inclusi problemi di ottimizzazione, fisica e ingegneria.

Formula della Regola della somma e Definizione formale

La formula della Regola della somma per la differenziazione è la seguente:

ddx(f(x)+g(x))=ddxf(x)+ddxg(x)

Definizione: Per funzioni derivabili f(x) e g(x), la derivata della somma di queste funzioni rispetto a x è data da:

ddx(f(x)+g(x))=ddxf(x)+ddxg(x)

dove ddxf(x) è la derivata di f(x) e ddxg(x) è la derivata di g(x).

La Regola della somma può essere estesa alla somma di un qualsiasi numero finito di funzioni derivabili:

ddx(f1(x)+f2(x)++fn(x))=ddxf1(x)+ddxf2(x)++ddxfn(x)

Passi per applicare la Regola della somma

  1. Identificare le funzioni: Determinare le singole funzioni f(x), g(x), o qualsiasi altra funzione nella somma data.
  2. Trovare le derivate di ciascuna funzione: Derivare ciascuna funzione nella somma rispetto alla sua variabile utilizzando le appropriate regole di derivazione.
  3. Somma delle derivate: Sommare le derivate delle singole funzioni ottenute nel passo 2.
  4. Semplificare il risultato: Se necessario, semplificare l’espressione finale ottenuta dal passo 3.

Esempio: Applicazione della Regola della somma

Consideriamo la funzione h(x)=x3+sin(x).

  1. Le funzioni nella somma sono f(x)=x3 e g(x)=sin(x).

  2. La derivata di x3 è 3x2 (usando la Regola del potere), e la derivata di sin(x) è cos(x).

  3. Sommando le derivate:

    h(x)=ddx(x3+sin(x))=ddxx3+ddxsin(x)=3x2+cos(x)
  4. Il risultato è già semplificato, quindi abbiamo:

    h(x)=3x2+cos(x)

Quindi, la derivata di h(x)=x3+sin(x) è h(x)=3x2+cos(x).

Dimostrazione della Regola della somma

Per dimostrare la Regola della somma per la differenziazione, useremo la definizione della derivata (cioè il primo principio della differenziazione) e le proprietà dei limiti. Sia h(x)=f(x)+g(x), dove f(x) e g(x) sono funzioni derivabili.

Dimostrazione:

h(x)=ddx(f(x)+g(x))[4ex]=limh0(f(x+h)+g(x+h))(f(x)+g(x))h[4ex]=limh0[f(x+h)f(x)h+g(x+h)g(x)h][4ex]=limh0f(x+h)f(x)h+limh0g(x+h)g(x)h[4ex]=f(x)+g(x)

Quindi, abbiamo dimostrato che ddx(f(x)+g(x))=ddxf(x)+ddxg(x).

Spiegazione dettagliata dei passi della dimostrazione

  1. Iniziare con la definizione di h(x): h(x) è definito come la somma di f(x) e g(x):

    h(x)=f(x)+g(x)
  2. Definizione della derivata: La derivata di h(x) rispetto a x è data da:

    h(x)=ddx(f(x)+g(x))
  3. Applicare la definizione di limite della derivata: Usando la definizione di limite, la derivata può essere scritta come:

    h(x)=limh0(f(x+h)+g(x+h))(f(x)+g(x))h
  4. Distribuire i termini nel numeratore: Riscrivere l’espressione all’interno del limite distribuendo i termini:

    h(x)=limh0(f(x+h)+g(x+h))f(x)g(x)h
  5. Separare le frazioni: Dividere la frazione in due frazioni separate:

    h(x)=limh0[f(x+h)f(x)h+g(x+h)g(x)h]
  6. Utilizzare la proprietà della somma dei limiti: Applicare la proprietà che il limite di una somma è la somma dei limiti:

    h(x)=limh0f(x+h)f(x)h+limh0g(x+h)g(x)h
  7. Riconoscere le singole derivate: Ogni termine all’interno dei limiti rappresenta la derivata delle rispettive funzioni:

    h(x)=f(x)+g(x)

Quindi, abbiamo dimostrato che:

ddx(f(x)+g(x))=ddxf(x)+ddxg(x)